데코수학/ 함수에 벡터가 들어가면 어떻게 될까?

개념

  • 일변수 실함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}
      • f(x) = x^{2}
      • f(x) = \sin x
      • f(t) = t^{3} - e^{t}
      • t^{2} + f(t)^{2} = 4 (f(t) \ge 0)
  • 일변수 벡터함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n이 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}^{n}
    • 파라미터는 1개지만 결과는 벡터로 나오는 경우. 결과가 일변수 실함수를 여러 개.
    • f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t),  ...  f_{n}(t))
    • 매개곡선이라고 부르기도 한다.
    • \vec{\alpha}(t), \vec{\beta}(t), \vec{\gamma}(t)...  등으로 표기
      • \vec{\alpha}(t) = (\cos t, \sin t)
      • \vec{\beta}(t) = (t, t^{2})
      • \vec{\gamma}(t) = (\cos t, \sin t, t^{2})
  • 다변수 실함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 m이 1인 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}
    • 이런 함수를 스칼라장이라고도 부름
    • f(x, y), f(\vec{x}), V(x, y, z), \phi(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  등으로 표기
      • f(x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}
      • V(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4x_{1} + x_{2}^{2}
      • \phi (x, y) = x^{2} - y^{2}
      • f(x, y, z) = 3x^{2} - 4y^{2} + 5z^{2}
  • 다변수 벡터함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1이 아닌 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}^{m}
    • 즉, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}),  f_{2}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), ... , f_{m}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}))
    • 벡터장이라 부르기도 한다.
    • \vec{F}, \vec{G}, \vec{H} (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) 등으로 표기
      • \vec{F}(x, y) = (x, -y)
      • \vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)
      • \vec{F}(x, y) = (2, 3)
      • \vec{F}(x, y) = (x+y, -y, x^{2})
      • \vec{F}(x, y) = (-y, x)
      • \vec{F}(x, y) = (\frac{-x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{-y}{x^{2} + y^{2}} )
      • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = M \left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right)
        • M : m × n 행렬

19.03.16

정계서 블록체인 주목하는 이유

그럼 투표에 블록체인을 적용하는 것에 어떤 이점이 있을까? 두 가지 이점이 있다. 첫째는 시민의 직접 참여를 유도할 수 있는 점이다. 블록체인은 네트워크로 구성된 플랫폼이다. 다시 말해, 원격으로 참여할 수 있다. 이는 기존 오프라인 투표의 제약사항인 ‘장소’와 ‘시간’을 극복할 수 있게 한다. (중략)

블록체인 기반의 투표는 온라인 투표와 달리 중앙 관리자가 없다. 다시 말해, 투표 조작 위험이 거의 없다. 대신 합의 알고리즘이 적용돼 투표의 정보 불일치 (왜곡)를 방지해준다.

블록체인은 결국 신뢰 시스템을 혁신한 것인데, 화폐는 사실 정부가 보증하는 것이 이미 있고 은행의 신용 창출 시스템이 경제를 구성하는 강력한 힘이기 때문에 화폐로서 블록체인의 역할은 사실 커 보이진 않음. 오히려 그 ‘신뢰 시스템’이 필요한 다른 분야에 적용하면 효용이 있지 않을까 했는데, 투표가 바로 그 중에 하나라고 생각.

중국, AI연구 미국 따라잡나

미국 월스트리트저널(WSJ)에 따르면 미국 비영리 조사기관인 앨런 AI연구소는 13일(현지시간) 보고서를 통해 정상급 논문에서 중국이 미국을 따라잡고 있다고 지적했다.

인용횟수를 따져 상위 10%를 차지한 AI 논문에서 미국은 점유율 29%로 선두를 지켰으나 중국은 26%로 그 뒤를 바짝 추격했다. 미국이 1982년 이 순위에서 47%로 압도적 우위를 누렸다는 점을 고려하면 중국의 가파른 추격세가 드러난다.

이미 중국은 IT 선진국이고, AI는 특성상 수학이 중요함을 생각해 보면 미래 AI를 선도하는 나라는 중국이 될 것이라 생각해도 크게 틀리지 않을 듯.

중국의 유전자편집 기술 수준은?

중국은 세계에서 가장 많은 수의 실험용 영장류를 키우고 있는 나라다. 또한 원숭이와 같은 영장류를 소재로 갖가지 실험을 진행하며 유전자 편집 관련 논문 중 90% 이상을 발표하고 있는 중이다. (중략)

박사의 말대로 수년 전까지 생명공학 분야에 있어 미국과 중국 간의 차이는 분명하게 존재하고 있었다. 그러나 최근 중국 상황에 비추어 그 실력 차가 급격히 줄어들고 있는 중이다.

어쩌면 AI보다 유전자 편집에서 중국이 미국을 더 빨리 앞지를 수 있겠다 싶기도 하다. 기술력의 차이보다 실험에 대한 윤리 문제에서 자유롭기 때문. 유전자 편집은 아무래도 실제 실험 케이스가 중요할 텐데 그 양에서 중국이 압도.

요즘 내가 생각하는 미래 키워드 4가지가 자율주행차, 유전자 편집, 그래핀, 셰일가스인데, 적어도 2개는 중국이 선도할 것으로 생각 됨.

복리는 지루하다. 참느냐, 못 참느냐 성패를 가른다.

유명한 올림픽 역도 코치는 이렇게 물은 적이 있었다. “최고의 선수와 그 밖의 선수들의 차이가 무엇일까요?” 

그러면서 놀라운 답을 내놓았다. “매일매일 똑같은 역기를 반복해서 들어 올리는 지루한 연습을 참아낼 수 있느냐 없느냐입니다.”

비단 투자만이 아니라 모든 분야에 통용되는 이야기. 괜히 성공한 사람들이 한결 같이 강조하는 것이 ‘인내심’이 아니다. 잠깐 성공할 수는 있어도 오래 성공을 유지하려면 지루함을 견디고 인내심을 발휘하며 주어진 일에 최선을 다하는 것 외엔 방법이 없다.

머리와 뇌가 재생되는 유형동물의 비밀

단순한 신체구조를 지닌 동물들이 흔히 그렇듯이 유형동물 역시 뛰어난 신체 재생 능력을 지니고 있는데 심지어 뇌를 포함해 머리가 잘려 나가도 생존이 가능할 뿐 아니라 아예 새로운 머리와 뇌가 다시 자라납니다. 물론 이는 뇌가 생존에 필수적이지 않은 단순한 신경절이기 때문이지만 재생 능력이 탁월하다는 점은 누구도 부인할 수 없을 것입니다. 

신기한 내용이라 정리. 뇌는 그저 움직이기 위해 필요한 것일 뿐. 인간이 희한하게 사고 능력을 발전 시켜서 뇌에 대한 고평가가 이루어지는 것 같다.

[유튜브] Gadget Seoul

균형 잡히고 깊이가 있는 IT 채널.

정확한 기준은 나도 말로 할 수 없지만 세상의 정보를 많이 접하다 보니, 말을 하는 사람이 약을 파는건지 진짜 정보를 이야기하는 건지 구분이 조금 되는 것 같은데, 이 사람은 진짜 정보를 다루고 있음.

[유튜브] 안될과학

수학 유튜브 추천한 김에 과학 유튜브도 추천. 이전에 추천했던 과학 쿠키와는 또 다르게 교양 과학들을 보다 유머러스 하게 다루고 있다. 유머러스하다고 깊이가 얕은 것이 아니라 상당히 유익함.

가끔 수학 이야기도 해서 링크

[유튜브] 수학의 신 이상엽


수학에 대해 다루는 유튜버가 많지 않기도 하지만, 여튼 내가 보는 수학 강의 중 가장 설명 잘 하는 듯. 리만 가설에 대해 이 영상 보다 잘 설명한 것은 못 봄.

최근에 라마누잔 합에 대한 설명 듣고 생각나서 추천. 인터넷에 마술처럼 증명하는 다른 라마누잔합 영상이나 글보다 훨씬 수학적이다. 여기에 쓰이는 덧셈이 우리가 아는 덧셈이 아닌 것이 놀랍네.

러셀 서양철학사/ 플라톤의 영혼 불멸설

  • <파이돈>에 등장하는 소크라테스는 최고 현명하고 선하며 죽음을 조금도 두려워 하지 않는 플라톤의 이상적인 인간형.
  • 소크라테스는 철학자가 일상생활에서 추구하는 쾌락을 전부 피해야 한다고 하지 않고, 쾌락의 노예가 되지 말아야 한다고 주장할 따름이다.
    • 플라톤은 아마 주의를 기울이지 않았기 때문에 육체가 느끼는 쾌락만 쾌락이라는 견해를 묵인한 것으로 보인다. 이 부류에 포함된 도덕주의자들은 감각에 속한 쾌락을 추구하지 않는 사람은 쾌락을 전부 다 피해야만 유덕하게 살게 된다고 주장하였는데, 이 주장은 해로운 결과를 초래한 오류이다.
    • 정신과 신체가 분리되어 있다는 견해를 수용하게 되면 최선의 쾌락뿐만 아니라 최악의 쾌락, 예컨대 선망이나 여러 형태의 잔혹한 행위와 권력욕도 정신에 속할 것이다.
    • 밀턴의 <실낙원>에 등장한 악마는 육체의 고통을 초월해서 온전히 정신에 속한 쾌락을 얻기 위해 파괴 행동을 일삼으며, 유명한 여러 성직자는 감각에 속한 쾌락은 포기하지만 다른 쾌락을 경계하지 않아서 권력욕에 사로잡혔고 종교 박해를 저질렀다. 오늘날 히틀러도 그러한 유형에 속하는 인물인데, 그는 감각에 속한 쾌락을 아주 하찮게 여겼다.
  • 만물을 다 바꿀 수 있는 진짜 화폐는 지혜다
  • 진정한 철학자의 영혼은 사는 동안 육체의 속박에서 벗어나 해방감을 맛보고 죽은 다음에는 눈에 보이지 않는 세계로 떠나 신들과 더불어 천국의 기쁨을 누리려 할 것이다.

러셀 서양철학사/ 플라톤의 이상향

  • <국가>는 플라톤의 가장 중요한 대화편.
    • 이상 국가론에서 도출된 한 가지 결론은 통치자가 철학자가 되어야 한다는 주장.
  • <국가>의 명목상 목적은 ‘정의(justice)’라는 말을 ‘정의(definition)’ 내리는 것이다.
    • 그런데 첫 단계부터 모든 일은 소규모보다 대규모로 살펴보면 더 쉽게 이해할 수 있기 때문에 개인을 정의롭게 만드는 조건보다 국가를 정의롭게 만들기 위한 조건이 무엇인지 탐구하는 방법이 더 낫다고 결정한다.
    • 또 정의는 상상할 수 있는 최선의 국가가 지닌 속성 가운데 포함되어야 하기 때문에 우선 최선의 국가가 어떤 모습인지 묘사하고 나서 최선의 국가가 구비한 완벽한 특징들 가운데 어떤 특징을 ‘정의’라 부를지 결정하게 된다.
  • 플라톤은 시민을 평민/군인/수호자 계급으로 나누고 수호자 계급만 정치 권력을 갖도록 구상했다.
    • 수호자 계급은 보통 세습되지만 열등한 계급에 속한 장래성 있는 아이가 수호자 계급이 되기도 하고, 수호자 계급에 속한 아이나 젊은이가 수호자 자격을 충족하지 못하면 낮은 계급으로 내려가기도 한다.
    • 플라톤은 교육을 중시하는 한편 연극과 음악 등에 대해서는 검열을 주장함.
    • 경제에 대해서는 수호자 계급에 철저한 공산주의를 주장. 추가로 가족에 대해서도 공산주의를 적용함.
    • 이상 국가의 목적은 전체 국가의 선이지 한 계급의 행복이 아니다. 부와 가난은 둘 다 해롭기 때문에 플라톤의 이상 국가에는 어느 것도 존재하지 않는다.
    • 입법자는 여자와 남자를 일정한 수에 맞추어 수호자 계급으로 선출하여 공동 숙소에 살게 함.
    • 통치자들은 혈통이 가장 우수한 아비가 가장 많은 자식을 낳도록 조정할 수 있고 아이들은 출생하자마자 부모와 떨어져 대규모로 양육됨. 부모는 자식이 누구인지 모르고 자식도 부모가 누구인지 모른다.
  • 국가의 정의는 모든 사람이 각자 자기 몫을 하고 남의 일에 참견하지 않는데서 실현된다고 주장.
    • 국가는 상인 계급, 보조 계급, 수호자 계급이 각각 자기 몫을 하고 다른 계급의 일에 간섭하지 않으면 정의롭다.
  • 플라톤은 국가를 통해 무엇을 성취하려 하는가 하고 물으면 국가는 대체로 같은 인구를 가진 나라와 맞선 전쟁에서 승리함으로써 특정한 소수 사람들을 위한 생계를 보장하려 한다.
    • 플라톤의 국가에서는 엄격성으로 말미암아 분명히 에술작품을 창작하지도 학문을 체계적으로 확립하지도 못한다. 다른 점과 마찬가지로 이런 점에서도 스파르타와 유사하다.
  • 플라톤은 선 자체가 존재하며 선의 본성을 식별할 수 있다고 확신한다. 사람들이 선에 관해 의견이 일치하지 않을 때 적어도 한 사람은 지적인 오류를 범한 셈이며, 마치 사실의 문제에 관해서 일어나는 과학적 불일치인 양 취급한다.
  • 플라톤의 국가 건립은 공상에 그치거나 불가능한 일이 아니었다.
    • 실제 스파르타는 이상 국가에 필요한 여러 조건을 갖추고 있었고, 플라톤 추종자들의 무리가 스페인이나 갈리아의 해안가에 이상 국가를 실제로 건설할 수 있었을 수도 있었다.
    • 그러나 당시 전쟁 분위기와 함께 플라톤이 이상 국가를 실천해 보이려던 시도는 성공을 거두지 못했다.

러셀 서양철학사/ 이상 이론

  • 플라톤 철학에 영향을 많이 준 실재와 현상의 구분은 파르메니데스가 처음 철학 논의 속으로 들여왔다.
    • 파르메니데스의 글귀와 논증이 도처에 나타나는데, 실재에 관해 말할 때 풍기는 종교적 경향은 피타고라스의 논조를 띤다.
    • 파르메니데스의 논리가 내세나 오르페우스교와 결합하면서 지성과 종교적 정서를 둘 다 만족시키는 학설을 만들어 냈다. 그 결과 두 요소를 대단히 강하게 통합한 체계가 형성되고 갖가지 형태로 변모하면서 헤겔을 비롯한 후세의 철학자들에게 영향을 미쳤다.
  • 감각에 나타난 세계에 대해서는 의견을 갖게 될 뿐이지만, 초감각적인 영원한 세계(super-sensible eternal world)에 대해서는 지식을 얻는다는 결론에 이른다.
    • 의견은 아름다운 개별 사물과 관계하지만, 지식은 아름다움 자체와 관계한다.
    • 지식이 틀릴 수 없는 까닭은 논리적으로 오류가 될 수 없다. 반면 의견은 오류가 되기도 한다.
    • 철학자는 아름다운 사물만 사랑하는게 아니라 아름다움 자체를 사랑한다.
  • 한 사물이 아름다우면서 아름답지 않거나 정의로우면서 정의롭지 못하다는 생각이 자기모순에 빠진다고 해도 개별 사물들은 이런 모순된 특징을 지닌다. 그러므로 개별 사물들은 실재하지 않는다.
    • 헤라클레이토스의 주장과 파르메니데스의 주장을 결합하면 플라톤의 결론에 이른다.
  • 플라톤의 학설에는 선대 철학자들에게 돌릴 수 없는 아주 중요한 무엇 바로 ‘이상(ideas)’ 혹은 ‘형상(forms)’ 이론이 있다. 이상 이론의 일부는 논리 부문이고, 일부는 형이상학 부문이다.
    • 이상 이론의 일부는 논리 부문이고, 일부는 형이상학 부문이다. 논리 부문은 일반 명사의 의미와 연결된다.
    • 일반 명사 고양이라는 낱말은 개별 고양이가 태어날 때 태어나지 않으며, 개별 고양이가 죽을 때도 죽지 않는다. 보편 고양이는 공간과 시간을 차지하지 않는 ‘영원한’ 존재이기 때문이다.
    • 이상 이론의 형이상학 부문에 따르면 ‘고양이’라는 낱말은 이상적인 특정한 고양이, 그 고양이(the cat)을 의미하며, 신이 창조한 하나밖에 없는 존재이다. 개별 고양이들은 그 고양이의 본성을 분유하지만, 더하든 덜하든 불완전하게 분유한다.
    • 이런 불완전함 때문에 개별 고양이가 여러 마리 존재하게 된다. 이상적인 고양이는 실재하지만, 개별 고양이들은 현상(appearance)에 지나지 않는다.
  • 플라톤에게 철학은 일종의 통찰, 곧 ‘진리 통찰’이다.
    • 철학은 순수 지성의 활동만이 아니다. 철학은 지혜일 뿐만 아니라 지혜에 대한 사랑이기도 하며, 이러한 사유와 감정의 친밀한 합일은 스피노자가 말한 ‘신에 대한 지적 사랑’과 거의 같다.
  • 지성에 속하는 두 종류는 각각 ‘이성(reason)’과 ‘오성(understanding)’이라 부른다. 두 종류 지성 가운데 이성이 더 뛰어난 능력으로 순수 이상에 관계하며 변증법을 사용한다.
    • 오성은 수학에 쓰이는 지성 능력으로서 진위가 가려지지 않는 가설들을 사용한다는 점에서 이성보다 열등하다.
    • 수학은 존재하는 무엇에 대해 결코 말해주지 않으며, 그저 만약 어떠하다면 성립 가능한 것(what would be)을 말해줄 따름이다. 감각계에는 완벽한 직선들이 존재하지 않는다.
    • 그러므로 만약 수학에 가설적인 진리 이상의 무엇이 있다면, 초감각계에 초감각적인 직선들이 존재한다는 증거를 찾아야 한다. 오성으로는 이런 일을 하지 못하는데, 플라톤에 따르면 그것은 이성이 할 일이다.
    • 이성은 천상에 존재하는 직선으로 둘러싸인 삼각형을 알아보며, 그런 삼각형이 존재해야 비로소 기하학 명제들을 가설적인 명제가 아닌 정언 명제로서 긍정할 수 있다.
    • (러셀은 신이 침대를 하나만 만들었기 때문에 직선 또한 한 개만 만들었을 것이고, 그렇다면 삼각형은 현상이게 되므로 기하학 연구는 현상 연구의 일부일 수 밖에 없다고 플라톤을 까는데, 플라톤은 이 논점에 대해 모호하게 답변하고 넘어간다고 한다)
  • 플라톤 철학에서 선이 누리는 지위는 독특한데, 플라톤은 학문과 진리는 선과 유사하지만, 선이 더 높은 지위를 차지한다고 말한다.
    • 선은 본질이 아니지만, 위계와 권능의 측면에서 더 높은 지위를 차지한다고 말한다.

러셀 서양철학사/ 플라톤 사상의 근원

  • 플라톤과 아리스토텔레스는 고대, 중세, 근대의 모든 철학자에게 영향을 가장 크게 끼쳤다. 두 철학자 가운데 후세에 더 영향을 많이 준 인물은 플라톤이다.
    • 하나는 아리스토텔레스의 사상도 플라톤의 영향으로 형성되었기 때문이고, 다른 하나는 그리스도교 신학과 철학이 적어도 13세기까지는 아리스토텔레스보다 플라톤 사상의 영향을 더 많이 받았기 때문이다.
  • 플라톤 철학에서 가장 중요하게 다뤄야 할 문제는 5가지다.
    1. 이상향 (utopia)
    2. 이상 이론 (theory of ideas)
    3. 영혼 불멸을 지지하는 논증
    4. 우주론
    5. 지각이 아닌 상기로 간주되는 지식 개념
  • 플라톤은 민주주의를 경멸했는데 아테네가 패배한 원인과 자신이 존경한 소크라테스가 민주주의에 의해 사형당한 것이 그 원인.
    • 따라서 플라톤이 이상 국가의 모습을 그리는데 스파르타의 정치 체제를 참조했다는 사실은 전혀 놀랍지 않다.
  • 플라톤은 자신의 철학에 스며든 오르페우스교의 요소를 피타고라스에게서 이끌어 냄.
    • 종교적 경향, 영혼 불멸에 대한 믿음, 내세관, 사제와 같은 어조, 동굴의 비유에 포함된 모든 가름침 뿐만 아니라 수학을 중시하는 성향이나 지성과 신비주의가 밀접하게 혼합된 특징이 피타고라스에게서 유래함.
    • 플라톤은 파르메니데스에게서 실재는 영원하고 시간을 초월하며, 논리적 근거에 입각해 모든 변화는 환상에 불과하다는 믿음을 이끌어 냈음.
    • 헤라클레이토스에게서는 감각적인 세계에 영원한 것이란 하나도 없다는 부정적인 학설을 이끌어 냄. 이 학설은 파르메니데스의 학설과 결합되어 지식이란 감각에서 도출되지 않으며 오로지 지성을 통해 성취해야 한다는 결론에 이르게 됨. 결국 이렇게 해서 피타고라스 사상과 조화를 잘 이루게 됨.
    • 플라톤은 소크라테스에게서 윤리 문제에 몰두하는 성향과 세계를 기계론이 아니라 목적론으로 설명하는 경향을 배움. 플라톤 사상에서 ‘선’은 소크라테스 이전 사상가들보다 훨씬 큰 비중을 차지 함.
  • 플라톤의 사고 방식이 정치적 권위주의와 연결되는 부분
    1. 시간을 초월한 선성(goodness)과 실재성(reality)을 지닌 최선의 국가는 천상의 원형을 가장 가깝게 모사한 국가로서 변화는 최소화하고 정적인 완벽한 특징을 최대화해야 하므로 영원한 선을 최대로 이해한 사람이 통치자가 되어야 한다.
    2. 신비주의자들이 그렇듯이 플라톤의 신념 체계 안에도 삶의 방식을 공유하지 않으면 본질적으로 소통하기 어렵지만 근간을 이루는 확신이 자리잡고 있다. 피타고라스 학파는 입회자가 지켜야 하는 규칙을 세우려 노력 했는데, 이는 근본적으로 플라톤이 바라는 것이기도 하다. 어떤 사람이 유능한 정치가가 되려면 선이 무엇인지 알아야 한다. 그러니까 그는 지성의 훈련과 도덕적 훈련을 겸비할 경우에만 선이 무엇인지 알 수 있다는 말이다. 이러한 이중 훈련을 받지 않은 자들이 정치에 참여하도록 허락한다면 국가는 반드시 부패한다.
    3. 플라톤의 원리에 따라 유능한 통치자를 기르기 위해서는 교육을 많이 해야 한다. 시라쿠사의 참주 디오니시오스 2세를 훌륭한 왕으로 만들기 위해 기하학을 가르쳐야 한다는 주장이 현명하지 못한 듯 보이지만 플라톤의 관점에서는 본질적 요소였다. 그는 수학을 알지 못하면 참된 지혜에 이를 수 없다고 생각할 정도로 피타고라스 사상에 흠뻑 빠져 있었다. 이러한 견해는 과두정치를 암시한다.
    4. 플라톤은 대부분의 그리스 철학자들과 마찬가지로 지혜를 얻으려면 여유가 필수 요소라는 견해를 지지했다. 노동으로 생계를 유지하는 사람들은 지혜를 얻기 어려우니, 남에게 의존하지 않을 만큼 재산을 소유하거나 국가의 구제로 생계를 걱정하지 않아도 되는 사람들만 지혜에 이르게 될 것이다. 이러한 관점은 본질상 귀족정치의 특징이다.
  • 러셀은 플라톤의 지혜란 선에 대한 지식에서 성립한다고 생각.

러셀 서양철학사/ 스파르타의 영향

  • 스파르타 시민은 오로지 전쟁과 관련한 일을 함.
    • 국가 정책이 전쟁을 위한 것에 맞춰져 있기 때문에, 결혼 안하는 남자는 법률상 불명예 죄가 되기도 하고, 아이를 낳지 못한 여자들은 생식력이 나은 남자를 찾아 아이를 낳으라는 국가의 명령을 받음. 법률에 의해 아이를 낳는 일을 장려. 아이를 넷 낳은 아버지는 국가가 부과한 모든 의무에서 면제 됨.
    • 스파르타의 정치 체제는 세습 된 두 왕이 지배하는 이원왕정 체제. 왕 중 한 명은 전쟁이 일어나면 군대를 지휘하고, 평화 시기에 왕의 권한은 제한을 받음.
    • 왕은 30인의 원로 회의의 일원이었고, 왕을 제외한 28명은 귀족 가문 출신 중에 선출 됨. 이 외에 추첨에 의해 선출되는 5인의 감독관이 존재하는데, 민주적 요소로서 왕들의 권력을 견제하며 균형을 맞추려는 대안이 되었음.
    • 러셀의 평에 의하면 스파르타는 나치가 승리했더라면 이룩했을 법한 국가의 축소판이라고 함.
  • 중세와 근대의 독자에게 알려진 스파르타의 신화는 주로 플루타르코스가 확고하게 만든 것이었다. 그러나 스파르타의 전성기는 플루타르코스가 영웅전을 썼을 때보다 훨씬 앞선 시기에 속해 있었다
  • 스파르타인은 일생의 어느 단계에서도 자유라고는 거의 누리지 못했다.