데코수학/ 집합론/ 집합 1

개념

• 순진한 정의
  • 집합: 구별 가능한 것들의 모임
  • 원소: 집합에 들어 있는 대상들
  • 공집합: a ∉ ∅
• 원소 나열법
  • A = { a, b, c }
• 조건 제시법
  • a ∈ { p(x) | q(x) }
• 상등
  • A = B ⇔ ∀z, z ∈ A ⇔ z ∈ B
  • { a, a, b } = { a, b }
• 부분집합
  • A ⊆ B ⇔ ∀z, z ∈ A ⇒ z ∈ B
• 집합의 크기
  • | A | : A의 원소의 개수 (A는 유한집합)
• 멱집합(power set)
  • P(A) : A의 부분집합들을 모은 집합
  • { x | x ∈ A }
  • | A | = 2 ⇒ | P(A) | = 2ⁿ
• 합집합
  • A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
• 교집합
  • A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
• 차집합
  • A ∖ B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B }
• 여집합
  • A^C = U ∖ A
• 공집합은 모든 집합의 부분집합
• 공집합은 unique 하다

집합식

• A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ A = B
• A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
• A ∪ A = A
• A ∩ A = A
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• (A^C)^C = A
• ∅^C = U, U^C = ∅
• (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
• (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
• A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
• A ⊆ B ⇔ A ∖ B = ∅
• A ⊆ B ⇔ B^C ⊆ A^C
• A ∪ U = U
• A ∩ U = A
• A ∪ ∅ = A
• A ∩ ∅ = ∅