데코수학/ 집합론/ 곱집합

개념

• 순서쌍
  • (a, b) = { { a }, { a, b } }
• 카테시안(곱집합)
  • 데카르트의 이름을 따서 지은 이름
  • A x B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }
• 카테시안은 순서쌍 개념이기 때문에, 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.
  • A x B ≠ B x A
  • A x (B x C) ≠ (A x B) x C
• 직선을 ℝ, 원을 S¹이라 할 때
  • ℝ x ℝ : 평면
  • S¹ x ℝ: 원주면
  • ℝ x ℝ  x ℝ : 3차원 유클리드 공간
  • S¹ x S¹: 도넛면, 토러스

카테시안식

• A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
• A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
• A x (B ∖ C) = (A x B) ∖ (A x C)
• (A x B) ∩ (C x D) = (A ∩ C) x (B ∩ D)
• (A x B) ∪ (C x D) ⊆ (A ∪ C) x (B ∪ D)
• (A x B)^c = (A^c x B^c) ∪ (A^c x B) ∪ (A x B^c)
• A ⊆ B ⇒ A x C ⊆ B x C
• (A, B ≠ ∅) ⇔ A ⊆ C ∧ B ⊆ D