데코수학/ 함수

개념

  • 함수는 관계 중에 아래와 같은 정의를 만족하는 관계
    • 관계 f : X → Y를 함수라고 부른다. (X는 정의역, Y는 공역)
      • Dom(f) = X
      • (a, b) ∈ f, (a, c) ∈ f ⇒ b = c
    • (a, b) ∈ f ⇔ b = f(a)
  • 함수로서 같음
    • 함수 f : X → Y, 함수 g : X → Y 일 때
      • f = g ⇔ ∀x ∈ X, f(x) = g(x)
    • 만일 두 함수 f : X → Y, g : X → W 일 때 g(x) = f(x) 라도 두 함수는 같지 않을 수 있다.
      • f : ℝ → ℝ, f(x) = x2
      • g : ℝ → { x | x ≥ 0 }, g(x) = x2
      • 두 함수가 위와 같이 정의되었다면 두 함수는 집합으로써 같을지라도 함수 자체는 같지 않다.
  • f : A → B, g : C → D, x ∈ A ∩ C, f(x) = g(x) 이면,
    • f ∪ g : A ∪ C → B ∪ D 는 함수이고
    • (f ∪ g)(x) = f(x) ∈ x A, g(x) x ∈ C 이다.
      • 쉬운 예로는 f(x) = x2 (x < 0), x (x >= 0) x가 0보다 작을 때와 클 때가 따로 정의되는 함수
  • f : X → Y, A ⊆ X, B ⊆ Y 일 때,
    • f(A) = { f(x) | x ∈ A } (상)
    • f-1(B) = { x | f(x) ∈ B } (역상)
      • 예를 들면 f(x) = x2 : ℝ → ℝ 일 때
      • A = { 1, 2, 3, 4 } 라고 하면 A의 상 f(A) = { 1, 4, 9, 16 }이고
      • B = { 1, 2 } 라고 하면 B의 역상 f-1(B) = { -1, 1, -√2, √2 }

함수식

  • f : X → Y 일 때,
    • A ⊆ X 일 때, x ∈ A ⇒ f(x) ∈ f(A)
    • B ⊆ Y 일 때, x ∈ f-1(B) ⇔ f(x) ∈ B
    • f(∅) = ∅
    • f({x}) = { f(x) }
    • A ⊆ B ⊆ X ⇒ f(A) ⊆ f(B)
    • C ⊆ D ⊆ X ⇒ f-1(C) ⊆ f-1(D)
  • F ⊆ P(X) 일 때, (P(X)는 X의 멱집합 즉, X의 모든 부분집합들의 집합)
    • f(∪AF A) = ∪AF f(A)
      • A의 합집합에 대한 함수는 A에 대한 모든 함수의 합집합과 같다.
    • f(∩F) ⊆ ∩AF f(A)
      • F의 교집합에 대한 함수는 A에 대한 모든 함수의 교집합에 부분집합이다.
    • f-1(∪F) = ∪AF f-1(A)
      • F의 합집합의 역상은 A에 대한 모든 함수의 역상의 합집합과 같다.
    • f-1(∩F) = ∩AF f-1(A)
      • F의 교집합에 대한 역상은 A에 대한 모든 역상의 교집합과 같다. (역상에 대해서는 부분집합이 아니라 같음)
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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