데코수학/ 전단사 함수

개념

  • f : 단사 ⇔ ( f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 )
    • ( x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) )
  • f : 전사 ⇔ f(X) = Y
    • 정의역 전체에 대한 상이 공역과 같은 것
  • 단서, 전사, 전단사
    • 단사 : 1-1
    • 전사 : onto
    • 전단사 : 1-1 & onto
  • f : X → Y : 단사, A ⊆ X, F ⊆ P(X)
    • f(x) ∈ f(A) ⇒ x ∈ A
    • f(∪A∈F A) = ∪A∈F f(A)
    • f(∩F) = ∩A∈F f(A)
      • 일반적인 경우와 달리 단사일 경우는 같음이 성립한다.
    • f-1(∪F) = ∪A∈F f-1(A)
    • f-1(∩F) = ∩A∈F f-1(A)
  • 전단사 f : X → Y에 대하여, f-1 : Y → X는 전단사함수
    • Dom(f-1) = Im(f) = Y (∵ f = 전사)
    • (a, b) ∈ f-1, (a, c) ∈ f-1 ⇒ (b, a) ∈ f, (c, a) ∈ f
      • a = f(b) = f(c) ⇒ b = c (∵ f = 단사)
    • f-1(a) = f-1(b)
    • Im(f-1) = Dom(f) = X (∵ f = 함수)
  • 단사 함수의 합성은 단사, 전사 함수의 합성은 전사
  • 다양한 함수들
    • Idx : X → X, Idx(x) = x (항등 함수)
    • Ca : X  → { a }, Ca(x) = a (상수 함수)
    • Xa : X → { a, b }, Xa(x) = a (x ∉ A), b (x ∈ A) (신호 함수 or 상태 함수. 조건에 따라 상태가 다르기 때문에 불연속적이다)
    • Px : X × Y → X, Px(x, y) = x (X 사영 함수 or 2변수 함수. Y를 무시하고 X 축에 그림자를 씌운다는 의미에서 사영 함수라고 한다)
    • f : A ⊆ B ⇔ f: A → B, f(x) = x (포함 함수)
  • 순서 n 쌍, N-Tuple
    • (a, b) 2개인 경우: ordered pair
      • { { a }, { a, b } }
    • (a, b, c) 3개인 경우: 3-Tuple
      • { (1, a), (2, b), (3, c) }
      • 순서대로 ordered pair를 포함하고 있다.
  • 일반화된 카테시안
    • 3 = { (a, b, c) | a, b, c ∈ ℝ }
    • n = { (a1, a2, … an) | ai ∈ ℝ } (n차원 유클리드 공간)
    • Πk=1n Ak = { (a1, a2, … an) | ai ∈ Ai }
    • = { f : ℕ → ℝ } (무한차원 유클리드 공간, 조건을 더 추가하면 힐베르트 공간이 될 수 있음)
    • Πγ∈Γ Aγ = { f : Γ → ∪γ∈Γ Aγ | f(γ) ∈ Aγ } (일반화된 카테시안. 함수 공간, 하나의 함수가 점처럼 표현 됨)

함수식

  • f : X → Y, g : Y → Z 에 대하여
    • g ⚬ f : X → Z, (g ⚬ f)(x) = g(f(x))
      • 합성 함수
      • (a, b) ∈ g ⚬ f ⇔ ∃Z ∈ Y, (a, z) ∈ f ∧ (z, b) ∈ g
  • f : X → Y, g : Y → Z, h : Z → W 에 대하여
    • h ⚬ (g ⚬ f) = (h ⚬ g) ⚬ f
      • 합성 합수의 결합 법칙은 성립한다. 그러나 교환 법칙은 성립하지 않는다. f ⚬ g ≠ g ⚬ f
  • f : X → Y에 대하여
    • ∃g = Y → X, g ⚬ f = Idx ⇒ f : 단사 (Idx는 항등 함수)
    • ∃h = Y → X, f ⚬ h = Idy ⇒ f : 전사 (Idx는 항등 함수)
  • f, g : 전단사 ⇒ g ⚬ f : 전단사
    • g ⚬ f (a) = g ⚬ f (b) ⇒ a = b
    • (g ⚬ f)(x) = g(f(x))
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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