데코수학/ 집합론/ 전단사 함수

개념

• f : 단사 ⇔ ( f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ )
  • ( x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) )
• f : 전사 ⇔ f(X) = Y
  • 정의역 전체에 대한 상이 공역과 같은 것
• 단서, 전사, 전단사
  • 단사 : 1-1
  • 전사 : onto
  • 전단사 : 1-1 & onto
• f : X → Y : 단사, A ⊆ X, F ⊆ P(X)
  • f(x) ∈ f(A) ⇒ x ∈ A
  • f(∪_A∈F A) = ∪_A∈F f(A)
  • f(∩F) = ∩_A∈F f(A)
    • 일반적인 경우와 달리 단사일 경우는 같음이 성립한다.
  • f^-1(∪F) = ∪_A∈F f^-1(A)
  • f^-1(∩F) = ∩_A∈F f^-1(A)
• 전단사 f : X → Y에 대하여, f^-1 : Y → X는 전단사함수
  • Dom(f^-1) = Im(f) = Y (∵ f = 전사)
  • (a, b) ∈ f^-1, (a, c) ∈ f^-1 ⇒ (b, a) ∈ f, (c, a) ∈ f
    • a = f(b) = f(c) ⇒ b = c (∵ f = 단사)
  • f^-1(a) = f^-1(b)
  • Im(f^-1) = Dom(f) = X (∵ f = 함수)
• 단사 함수의 합성은 단사, 전사 함수의 합성은 전사
• 다양한 함수들
  • Idx : X → X, Idx(x) = x (항등 함수)
  • C_a : X  → { a }, C_a(x) = a (상수 함수)
  • X_a : X → { a, b }, X_a(x) = a (x ∉ A), b (x ∈ A) (신호 함수 or 상태 함수. 조건에 따라 상태가 다르기 때문에 불연속적이다)
  • P_x : X × Y → X, P_x(x, y) = x (X 사영 함수 or 2변수 함수. Y를 무시하고 X 축에 그림자를 씌운다는 의미에서 사영 함수라고 한다)
  • f : A ⊆ B ⇔ f: A → B, f(x) = x (포함 함수)
• 순서 n 쌍, N-Tuple
  • (a, b) 2개인 경우: ordered pair
    • { { a }, { a, b } }
  • (a, b, c) 3개인 경우: 3-Tuple
    • { (1, a), (2, b), (3, c) }
    • 순서대로 ordered pair를 포함하고 있다.
• 일반화된 카테시안
  • ℝ³ = { (a, b, c) | a, b, c ∈ ℝ }
  • ℝⁿ = { (a₁, a₂, … a_n) | a_i ∈ ℝ } (n차원 유클리드 공간)
  • Π_k=1ⁿ A_k = { (a₁, a₂, … a_n) | a_i ∈ A_i }
  • ℝ^ℕ = { f : ℕ → ℝ } (무한차원 유클리드 공간, 조건을 더 추가하면 힐베르트 공간이 될 수 있음)
  • Π_γ∈Γ Aγ = { f : Γ → ∪_γ∈Γ Aγ | f(γ) ∈ Aγ } (일반화된 카테시안. 함수 공간, 하나의 함수가 점처럼 표현 됨)

함수식

• f : X → Y, g : Y → Z 에 대하여
  • g ⚬ f : X → Z, (g ⚬ f)(x) = g(f(x))
    • 합성 함수
    • (a, b) ∈ g ⚬ f ⇔ ∃Z ∈ Y, (a, z) ∈ f ∧ (z, b) ∈ g
• f : X → Y, g : Y → Z, h : Z → W 에 대하여
  • h ⚬ (g ⚬ f) = (h ⚬ g) ⚬ f
    • 합성 합수의 결합 법칙은 성립한다. 그러나 교환 법칙은 성립하지 않는다. f ⚬ g ≠ g ⚬ f
• f : X → Y에 대하여
  • ∃g = Y → X, g ⚬ f = Idx ⇒ f : 단사 (Idx는 항등 함수)
  • ∃h = Y → X, f ⚬ h = Idy ⇒ f : 전사 (Idx는 항등 함수)
• f, g : 전단사 ⇒ g ⚬ f : 전단사
  • g ⚬ f (a) = g ⚬ f (b) ⇒ a = b
  • (g ⚬ f)(x) = g(f(x))