개념
- f : 단사 ⇔ ( f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 )
- ( x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) )
- f : 전사 ⇔ f(X) = Y
- 정의역 전체에 대한 상이 공역과 같은 것
- 단서, 전사, 전단사
- 단사 : 1-1
- 전사 : onto
- 전단사 : 1-1 & onto
- f : X → Y : 단사, A ⊆ X, F ⊆ P(X)
- f(x) ∈ f(A) ⇒ x ∈ A
- f(∪A∈F A) = ∪A∈F f(A)
- f(∩F) = ∩A∈F f(A)
- 일반적인 경우와 달리 단사일 경우는 같음이 성립한다.
- f-1(∪F) = ∪A∈F f-1(A)
- f-1(∩F) = ∩A∈F f-1(A)
- 전단사 f : X → Y에 대하여, f-1 : Y → X는 전단사함수
- Dom(f-1) = Im(f) = Y (∵ f = 전사)
- (a, b) ∈ f-1, (a, c) ∈ f-1 ⇒ (b, a) ∈ f, (c, a) ∈ f
- a = f(b) = f(c) ⇒ b = c (∵ f = 단사)
- f-1(a) = f-1(b)
- Im(f-1) = Dom(f) = X (∵ f = 함수)
- 단사 함수의 합성은 단사, 전사 함수의 합성은 전사
- 다양한 함수들
- Idx : X → X, Idx(x) = x (항등 함수)
- Ca : X → { a }, Ca(x) = a (상수 함수)
- Xa : X → { a, b }, Xa(x) = a (x ∉ A), b (x ∈ A) (신호 함수 or 상태 함수. 조건에 따라 상태가 다르기 때문에 불연속적이다)
- Px : X × Y → X, Px(x, y) = x (X 사영 함수 or 2변수 함수. Y를 무시하고 X 축에 그림자를 씌운다는 의미에서 사영 함수라고 한다)
- f : A ⊆ B ⇔ f: A → B, f(x) = x (포함 함수)
- 순서 n 쌍, N-Tuple
- (a, b) 2개인 경우: ordered pair
- { { a }, { a, b } }
- (a, b, c) 3개인 경우: 3-Tuple
- { (1, a), (2, b), (3, c) }
- 순서대로 ordered pair를 포함하고 있다.
- (a, b) 2개인 경우: ordered pair
- 일반화된 카테시안
- ℝ3 = { (a, b, c) | a, b, c ∈ ℝ }
- ℝn = { (a1, a2, … an) | ai ∈ ℝ } (n차원 유클리드 공간)
- Πk=1n Ak = { (a1, a2, … an) | ai ∈ Ai }
- ℝℕ = { f : ℕ → ℝ } (무한차원 유클리드 공간, 조건을 더 추가하면 힐베르트 공간이 될 수 있음)
- Πγ∈Γ Aγ = { f : Γ → ∪γ∈Γ Aγ | f(γ) ∈ Aγ } (일반화된 카테시안. 함수 공간, 하나의 함수가 점처럼 표현 됨)
함수식
- f : X → Y, g : Y → Z 에 대하여
- g ⚬ f : X → Z, (g ⚬ f)(x) = g(f(x))
- 합성 함수
- (a, b) ∈ g ⚬ f ⇔ ∃Z ∈ Y, (a, z) ∈ f ∧ (z, b) ∈ g
- g ⚬ f : X → Z, (g ⚬ f)(x) = g(f(x))
- f : X → Y, g : Y → Z, h : Z → W 에 대하여
- h ⚬ (g ⚬ f) = (h ⚬ g) ⚬ f
- 합성 합수의 결합 법칙은 성립한다. 그러나 교환 법칙은 성립하지 않는다. f ⚬ g ≠ g ⚬ f
- h ⚬ (g ⚬ f) = (h ⚬ g) ⚬ f
- f : X → Y에 대하여
- ∃g = Y → X, g ⚬ f = Idx ⇒ f : 단사 (Idx는 항등 함수)
- ∃h = Y → X, f ⚬ h = Idy ⇒ f : 전사 (Idx는 항등 함수)
- f, g : 전단사 ⇒ g ⚬ f : 전단사
- g ⚬ f (a) = g ⚬ f (b) ⇒ a = b
- (g ⚬ f)(x) = g(f(x))