데코수학/ 집합론/ 기수 (칸토어-베른슈타인 정리)

개념

• 기수 (Cardinal Number)의 정의
  1. 집합 A에 대하여 Card A가 결부된다.
     기수 a에 대하여, a = Card A인 A가 존재한다.
  2. A = ∅ ⇔ Card A = 0
  3. A ~ ℕ_k  ⇔ Card A = K
  4. A ~ B ⇔ Card A = Card B
• Card A ＜ Card B ⇔ (∃B₀ ⊆ B, A ~ B₀) ∧ (∄A₀ ⊆ A, B ~ A₀)
• 칸토어-베른슈타인 정리
  • Card A = Card B ⇔ (∃B₀ ⊆ B, A ~ B) ∧ (∃A₀ ⊆ A, B ~ A)
• A ⊆ B, 단사 f : B → A ⇒ ∃g : B ~ A
  • A가 B의 부분집합이고 B에서 A로 가는 단사 함수가 존재하면 B와 A는 대등하다.
• A ∩ B = ∅ ⇒ f(A) ∩ f(B) = ∅