데코수학/ 기수의 합

개념

  • A ~ B, A ⊆ X ⊆ B ⇒ X ~ A
    • A와 B가 대등한 조건이었으므로 X ~ B 도 성립
  • A ⊆ B ⇒ Card A ≤ Card B
  • ∃단사 f : A → B ⇔ Card A ≤ Card B
  • (칸토어 정리) Card X < Card P(X)
    • P(X)는 멱집합. X의 부분집합들을 모은 집합
  • 가장 큰 기수는 존재하지 않는다
    • Card A를 가장 큰 기수로 가정할 때, 칸토어의 정리에 따라 Card A < Card P(A)가 되어야 하므로 Card A가 가장 큰 기수가 될 수는 없음. 가정이 모순
  • Card (ℕ) = ℵ0 라고 표기. Card (ℝ) = ℵc 라고 표기.
  • Card X + Card Y = Card Y + Card X
    • 기수의 합에 대하여 교환법칙이 성립
  • Card X + (Card Y + Card Z) = (Card X + Card Y) + Card Z
    • 기수의 합에 대하여 결합법칙이 성립
  • Card X + 0 = Card X
    • 기수의 합에 대하여 항등원이 존재. 항등원은 0
  • Card X ≤ Card Y ⇒ Card X + Card Z ≤ Card Y + Card Z
    • Card X < Card Y ⇒ Card X + Card Z < Card Y + Card Z 는 성립하지 않는데, Card Z가 무한집합(ℵ0)인 경우가 반례가 된다.
    • 같은 맥락에서 Card X + Card Z = Card Y + Card Z 일 때 Card X = Card Y 도 성립하지 않는다. Card Z가 무한집합(ℵ0)인 경우

기수식

  • A ∩ B = ∅ 일때
    • Card A + Card B = Card (A ∪ B)
  • A ~ A1, B ~ B1, A ∩ B = ∅, A1 ∩ B1 = ∅ 일 때
    • Card (A ∪ B) = Card (A1 ∪ B1)
  • 0 + ℵ0 = ℵ0
    • 자연수 집합과 자연수 집합의 합은 자연수 집합
  • c + ℵc = ℵc
    • 실수 집합과 실수 집합의 합은 실수 집합
  • 0 + ℵc = ℵc
    • 자연수 집합과 실수 집합의 합은 실수 집합
  • n + ℵ0 = ℵ0
    • 자연수와 자연수 집합의 합은 자연수 집합
  • n + ℵc = ℵc
    • 자연수와 실수 집합의 합은 실수 집합
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.