기수의 지수 – 3

개념

• Card (C¹(ℝ, ℝ)) = ℵ_c
  • C¹(ℝ, ℝ) = { 미분가능 f : ℝ → ℝ } (미분 가능한 함수들의 집합)
  • 미분 가능한 함수들의 집합은 연속인 함수들의 부분집합이다.
• ℝⁿ ~ (0, 1)
  • ℵ_cⁿ = (2^ℵ0)ⁿ = 2^{ℵ0 × n} = 2^ℵ0 = ℵ_c = Card (0, 1)
  • 유클리드 공간은 실수 집합과 대등하다.
• ℍ = { f : ℕ → ℝ | Σ_i=1^∞ f(i)² = 수렴 } 일 때, ℍ ~ ℝ
• ℵ₀^ℵ0 = ℵ_c
• 연속체 가설
  • ∃x, ℵ₀ < x < ℵ_c 가 존재하는가?
  • 자연수 집합과 실수 집합 사이에 존재하는 무한 집합이 존재하는가?
  • 반증도 증명도 안되는 문제.
    • 괴델이 ZFC 공리계와 모순되지 않는다고 증명
    • 코헨이 ZFC 공리계로 증명불가능함을 증명