데코수학/ 순서 관계 – 1

개념

  • 수학의 가장 근간을 이루는 분야인 집합과 논리에서 가장 가까운 수학 분야가 대수와 위상
  • 순서 관계란, 관계 R : A → A에 대하여
    • aRa (반사율)
    • aRb ∧ bRa ⇒ a = b (반대칭)
    • aRb ∧ bRc ⇒ aRc (추이율)
      • 위 3가지 조건을 만족하는 경우 R : 반순서
    • aRb ∨ bRa
      • 위 4가지 조건을 모두 만족하는 경우 R : 전순서
  • <A, R> : 반순서 집합
    • (A 자리에 집합, R 자리에 관계 기호를 쓰면 된다.)
  • 오해의 소지가 없다면, 반순서관계 R을 ≤로 표기
  • <A, ≤> : 반순서 일 때
    • a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b
    • a < b ⇒ ¬(a ≥ b)
      • 반대 방향은 성립 안 함
  • <ℝ, ≤> : 전순서 관계
  • <F, ⊆> : 반순서 관계
  • <ℕ, | > : 반순서 관계
    • | 기호는 다음과 같이 정의
    • n | m ⇔ ∃k ∈ ℕ,  m = nk
    • (n은 m의 약수, m은 n의 배수 관계라는 의미)
  • <ℝ2, ≤> : 반순서 관계
  • <ℝ, ℝ> : 반순서 관계
  • 반순서 <A, ≤>, B ⊆ A 일 때
    • <B, ≤> : <A, ≤>의 반순서 부분집합 ⇔ <B, ≤> : A의 반순서
    • <B, ≤> : <A, ≤>의 전순서 부분집합 (사슬) ⇔ <B, ≤> : A의 전순서
    • A 가 반순서 집합이고 B가 A의 부분집합일 때 B는 A의 반순서 집합이거나 A의 사슬이다.
  • 전순서 <A, ≤>, B ⊆ A 일 때 ⇒ <B, ≤> : A의 전순서 (사슬)
    • A가 전순서 집합이고 B가 A의 부분집합일 때 B는 A의 사슬이다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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