데코수학/ 순서 관계 – 2

개념

  • <A, ≤> 반순서 일 때
    • ∃x : A의 최대원소 ⇔ ∃x ∈ A ∀a ∈ A, a ≤ x
      • 집합 내에 x보다 큰 원소가 없을 경우 x가 최대원소
    • ∃x : A의 극대원소 ⇔ ∃x ∈ A ∀a ∈ A, x ≤ a ⇒ x = a
      • 집합 내에 x보다 같거나 큰 원소가 있을 경우, 그 원소와 x가 같을 때 x가 극대원소
    • ∃x : A의 최소원소 ⇔ ∃x ∈ A ∀a ∈ A, x ≤ a
      • 집합 내에 x보다 작은 원소가 없을 경우 x가 최소원소
    • ∃x : A의 극소원소 ⇔ ∃x ∈ A ∀a ∈ A, a ≤ x ⇒ x = a
      • 집합 내에 x보다 같거나 작은 원소가 있을 경우, 그 원소와 x가 같을 때 x가 극소원소
  • 최대/최소 원소는 유일하다
    • x가 <A, ≤>의 최대 원소 ⇔ x = max<A, ≤>
    • x가 <A, ≤>의 최소 원소 ⇔ x = min<A, ≤>
  • 전순서 집합에서
    • 최대원소 ⇔ 극대원소
    • 최소원소 ⇔ 극소원소
  • 상계란 최대값을 찾을 수 없는 집합에서 그 상위의 집합을 이용해 최대값을 찾는 것
    • (0, 1) 집합에는 최대값이 없으므로, 그 상위 집합인 실수 집합 ℝ을 이용하여 최대값을 찾는다.
  • 상계, 최소상계, 하계, 최대하계
    • 반순서 <A, ≤>, <B, ≤> ⊆ <A, ≤> 일 때
    • ∃x : B의 상계 ⇔ ∃x ∈ A, ∀b ∈ B, b ≤ x
      • 집합 A에 속하는 원소 중 B의 모든 원소 보다 큰 원소를 상계라고 한다.
      • 단순히 상계를 위와 같이 정의하면 값이 무한히 많으므로, 그 중에 가장 작은 값인 최소 상계를 구한다.
    • ∃x : B의 최소상계 ⇔ ∃x ∈ A, ∀y : B의 상계, x ≤ y ⇔ x = sup<B, ≤>
      • B의 상계 중에서 가장 작은 상계를 최소 상계라고 한다.
    • ∃x : B의 하계 ⇔ ∃x ∈ A, ∀b ∈ B, x ≤ b
      • 집합 A에 속하는 원소 중 B의 모든 원소 보다 작은 원소를 하계라고 한다.
    • ∃x : B의 최대하계 ⇔ ∃x ∈ A, ∀y : B의 하계, y ≤ x ⇔ x = inf<B, ≤>
      • B의 하계 중에서 가장 큰 상계를 최대 상계라고 한다.
  • 집합족 S에 대하여 F ⊆ S 일 때,
    • ∪F ∈ S ⇒ ∪F : <F, ⊆> 의 상계
      • S에 속하는 F에 대하여 그 합집합이 S의 원소가 되면 F 합집합이 F의 상계가 된다.
    • ∩F ∈ S ⇒ ∩F : <F, ⊆> 의 하계
      • S에 속하는 F에 대하여 그 교집합이 S의 원소가 되면 F 교집합이 F의 하계가 된다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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