데코수학/ 정렬전순서 관계 – 2

개념

  • Lower Set
    • 반순서 <X, ≤>, A ⊆ X, <A, ≤> : Lower Set of <X, ≤> ⇔ ∀x ∈ X, y ∈ A, x ≤ y ⇒ x ∈ A
    • A가 X의 Lower Set이라는 것은 A가 X의 부분집합이고, A의 임의의 원소 y 이하인 X의 모든 원소는 A에 속한다는 뜻. (엄밀하진 않지만 A가 X의 가장 작은 원소를 포함하는 집합이라고 생각하면 쉽다.)
  • <X, ≤> : 정렬전순서일 때
    • Lower Set 들의 교집합, 합집합도 Lower Set
    • Lower Set 의 Lower Set도 Lower Set
    • Proper Lower Set 은 { x ∈ X | x < a } 로 표현 할 수 있다.
      • Proper면 진 이라는 뜻. 진부분집합, 진 Lower Set 등. 자기 자신은 원소로 포함하지 않는 집합
  • 표기법
    • <A, ≤>에 대하여, Aa = { x ∈ A | x < a } 로 표기.
      • 이를 initial segment라고 한다.
  • <A, ≤> 정렬전순서, 집합족 F = { X | <X, ≤> : lower set of <A, ≤> } 이고, 집합족 S ⊆ F 에 대하여
    • (집합족 F가 A의 모든 lower set을 모은 집합이고, 집합족 S는 F의 부분집합일 때)
      • Ax ∈ S ⇒ A∪ { x } ∈ S (Ax ≠ A)
        • Ax가 S의 원소일 때, Ax와 x를 합집합 한 것도 S의 원소이다. 단, Ax는 Proper Lower Set
      • T ⊆ S ⇒ ∪T ∈ S
        • 집합족 S의 부분집합들의 합집합은 S의 원소이다.
      •  위 2가지 조건을 다 만족한다면 S = F이다.
  • 초한귀납법
    • <X, ≤> 정렬전순서, P(x) : 명제 함수 일 때
    • ∀x ∈ X, P(x) ⇔ ∀x, y ∈ X (y < x), P(y) ⇒ P(x)
      • 모든 x에 대하여 P(x)가 참이 성립하면, X에 속하는 임의의 원소 x, y에 대하여 (y < x), P(y)가 참이면 P(x)가 참이다.
      • 수학적 귀납법과 달리 자연수를 넘어서 정렬전순서 집합에 대해 모두 적용 가능한 귀납법.
      • 1번째 조건과 증가 조건을 정의해야 하는 수학적 귀납법과 달리 1개의 조건으로 성립
      • 임의의 두 원소에 대하여 작은 원소에 대해 성립하면 그 다음 원소에 대해 성립한다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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