데코수학/ 정렬 원리

개념

  • 모든 집합은 정렬전순서가 존재한다.
  • 구조들 끼리의 비교. 아래와 같은 조건을 만족할 때 구조끼리 비교가 된다.
    • <X1, ≤1> ≤* <X2, ≤2> ⇔
      • X1 ⊆ X2
        • X1 이 X2 에 포함 (집합 관계)
      • 1 ⊆ ≤2
        • 1 이 ≤2 에 포함 (순서 관계)
      • a ∈ X1, b ∈ X2∖X1 ⇒ a ≤2 b
        • X1에 들어가는 원소가 X2에 들어가는 원소보다 ≤2 기준으로 작음
  • ∅ ∉ S인 집합족 ⇒ ∃f : S → ∪S ∀A ∈ S, f(a) ∈ A
    • 공집합이 들어 있지 않은 집합족 S에서, 집합족 S에서 집합족 S의 합집합으로 가는 함수 f에 대하여, f(a)가 A에 포함되는 함수가 존재한다. (선택 공리)
  • 정렬 원리, 선택 공리, 조른의 보조 정리, 하우스도르프 극대원리는 동치
    • p가 참이면 q가 참이고, q가 참이면 r이 참이고, r이 참이면 s가 참이고, s가 참이면 p가 참이면 p, q, r, s는 동치인 것을 이용하여 각 정리로 다른 정리를 증명.
  • 만일 p와 q가 동치인 것을 증명하려면 p일때 q인 것과 q일 때 p인 것을 증명해야 한다. 따라서 p, q, r, s가 동치임을 증명하려면 6번을 증명해야 하는데, 위와 같이 정리간 연결관계가 있는 경우, 한 방향으로만 증명을 해도 모두가 동치임이 자동으로 증명 되기 때문에 p, q, r, s가 동치임을 증명할 때 4번만 증명해도 된다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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