데코수학/ 순서수

개념

  • 기수란 집합의 전단사 함수 성질을 나타냄
    • 집합 내의 대등한 것들을 같은 수로 결부시키는 것
  • 순서수란 정렬전순서 집합 중에 구조로서 같은 것들을 같은 수로 결부 시키는 것
  • 수학에서 매우 중요한 개념이 구조가 같다는 것. Isomorphic
    • 구조적으로 같은 성질을 갖고 있다.
  • 순서 동형 (order isomorphic)
    • 반순서 <A, ≤>과 <B, ≤*>에 대하여
      • <A, ≤> ≈ <B, ≤*> ⇔ ∃f : A → B
        • f : 전단사
        • a1 ≤ a2 ⇒ f(a1) ≤* f(a2)
      • (≈ 은 동형이라는 의미)
    • 두 반순서 집합이 순서 동형이라는 의미는 A 집합에서 B 집합으로 가는 전단사 함수가 존재하고, A에서의 a1, a2의 관계가 전단사 함수를 통해 B로 대응된 후에도 A에서의 a1, a2의 대응관계가 B에서도 동일하게 유지되어야 한다. 순서 보존
  • ≈ 는 반사율, 대칭율, 추이율이 성립
  • 순서수 (ordinal number) 공리
    1. 모든 정렬전순서 집합 <X, ≤>에 Ord<X, ≤>라는 순서수가 결부된다.
      • 모든 순서수 α에 대해 α = Ord<X, ≤>인 정렬전순서 집합이 존재
      • (Ord는 순서수, Ordinal라는 의미)
    2. <A, ≤> ≈ <B, ≤*> ⇔ Ord<A, ≤> = Ord<B, ≤*>
      • 두 정렬전순서가 동형이면 그 순서수는 같다.
    3. Ord<∅, ≤> = 0
      • 공집합에 대한 순서수는 0
    4. X ~ { 1, …, n } ⇒ Ord<X, ≤> = n
      • X가 1부터 n까지의 집합일 때 X의 순서수는 n
  • Ord<A, ≤> ≤ Ord<B, ≤*> ⇔ ∃Ord<C, ≤> : Lower Set of B, <A, ≤> ≈ <C, ≤*>
    • 순서수 A가 순서수 B보다 작다는 것은 정렬전순서 집합 A가 정렬전순서 집합 B의 Lower Set과 동형이라는 의미다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.