데코수학/ 순서수 합 – 1

개념

  • 정렬전순서 <A, ≤>, <B, ≤> : proper lower set of <A, ≤> ⇒ <A, ≤> ≉ <B, ≤>
    • 정렬전순서 <A, ≤>와 그 proper lower set <B, ≤>는 순서 동형이 아니다.
  • Ord<A, ≤> < Ord<B, ≤•> ⇔ <A, ≤> ≈ <B0, ≤•> (<B0, ≤•> : proper lower set of <B, ≤•>)
    • 순서수 <A, ≤>가 순서수 <B, ≤•> 보다 작다면 정렬전순서 <A, ≤>는 정렬전순서 <B, ≤•>의 proper lower set과 동형이다.
  • 무한 정렬전순서 집합의 순서들 중에서 가장 작은 순서수가 존재하지 않는다.
    • 위의 조건에 맞는 순서수는 유한집합이 되기 때문에 위 조건에 맞는 존재하지 않음.
    • Ord<ℕ, ≤대소>가 초한순서수 중 가장 작은 집합
  • Ord A < Ord B, Ord B < Ord C ⇒ Ord A < Ord C
  • Ord<A, ≤> + Ord<B, ≤•> = Ord<A∪B, ≤*>
    • 두 순서수의 합은 A, B의 합집합과 ≤*로 이루어진 순서수로 만든다.
    • A∩B = ∅ 일 때 ≤*의 정의는
      • a ∈ A, b ∈ B ⇒ a ≤* b
        • a가 A에 속하고 b가 B에 속하면 ≤*를 따른다.
      • a, b ∈ A ⇒ (a ≤* b ⇔ a ≤ b)
        • a와 b가 모두 A에 속하면 ≤를 따른다.
      • a, b ∈ B ⇒ (a ≤* b ⇔ a ≤• b)
        • a와 b가 모두 A에 속하면 ≤•를 따른다.
    • A와 B가 서로소가 아니면 그 둘을 카테시안으로 만들어서 서로소로 만든다.
  • 자연수에 대한 순서수 Ord<ℕ, ≤*>에서 관계를 다음과 같이 정의할 때
    • ≤*
      • n ≤* m ⇔ n < m (n ≠ 3)
      • m ≤* 3 (n = 3)
      • (모든 자연수에 대하여 3보다 작은 관계)
    • Ord<ℕ, ≤*> = Ord<ℕ, ≤> + 1
      • Ord<ℕ, ≤*>은 자연수에 대한 순서수 보다 1만큼 더 크다.
  • Ord<A1, ≤> = Ord<A2, ≤*>, Ord<B1, ≤> = Ord<B2, ≤*> (A1∩A2=∅, B1∩B2=∅) ⇒ Ord<A1, ≤> + Ord<B1, ≤> = Ord<A2, ≤*> + Ord<B2, ≤*>
    • 순서수 Ord<A1, ≤>과 Ord<A2, ≤*>가 같고, Ord<B1, ≤>과 Ord<B2, ≤*> 같으면 Ord<A1, ≤>과 Ord<B1, ≤>의 합과 Ord<A2, ≤*>과 Ord<B2, ≤*>의 합은 같다. (단, A1과 A2, B1과 B2 는 서로소)
  • 순서수 덧셈에 대하여는 교환법칙이 성립하지 않는다.
    • Ord A + Ord B ≠ Ord B + Ord A
    • 1 + ℕ = ℕ < ℕ + 1
      • 1 + 자연수 순서수는 자연수 순서수와 같지만 자연수 순서수 + 1은 자연수 순서수보다 크다.

[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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