데코수학/ 순서수 곱

개념

  • <A, ≤>, <B, ≤•> 일 때 두 정렬전순서의 곱은 다음과 같이 로 정의 한다.
    • <A, ≤> × <B, ≤•> = <A × B, ≤*>
    • ≤*
      • (a, b), (c, d) ∈ A×B에 대하여
      • a ≤ c ⇒ (a, b) ≤* (c, d)
      • a = c ⇒ ((a, b) ≤* (c, d) ⇔ b ≤* d)
      • 두 정렬전순서를 카테시안으로 만들고, 앞의 원소가 빠른 것을 먼저 쓰고, 앞의 원소가 같으면 그 다음 원소가 빠른 것을 먼저 쓰는 식으로 정렬한다. (마치 사전에서 단어 정렬하는 것과 같다. ab, ac, ba 3글자는 첫번째 글자가 빠른 것, 그 다음 글자가 빠른 것으로 정렬된다)
      • 이렇게 하면 ≤* 는 정렬전순서가 된다.
  • Ord<B, ≤> ⋅ Ord<A, ≤•> = Ord<A×B, ≤*>
    • 두 순서수의 곱셈은 위와 같이 정의한다.
    • 곱셈은 순서가 중요하다. 먼저 쓴 것이 뒤에 들어가야 함.
  • Ord<A1, ≤1> = Ord<A2, ≤2>, Ord<B1, ≤•1> = Ord<B2, ≤•2> 일 때,
    • Ord<B1, ≤•1> ⋅ Ord<A1, ≤1> =  Ord<B2, ≤•2> ⋅ Ord<A2, ≤2>
  • Ord<2, ≤> ⋅ Ord<ℕ, ≤> = Ord<ℕ, ≤> (Ord<2, ≤>는 두 원소 집합)
    • 순서수와 자연수 순서수를 곱하면 자연수 순서수와 같다.
  • Ord<ℕ, ≤> ⋅ Ord<2, ≤> > Ord<ℕ, ≤> (Ord<2, ≤>는 두 원소 집합)
    • 자연수 순서수와 순서수를 곱하면 자연수 순서수 보다 크다.
  • 순서수 곱에는 곱하는 순서가 중요하다. 뒤에 곱해지는 것이 카테시안에서 앞에 나오기 때문.
    • Ord<2, ≤> ⋅ Ord<ℕ, ≤> < Ord<ℕ, ≤> ⋅ Ord<2, ≤>
    • 고로 순서수 곱에는 교환법칙이 성립하지 않는다.
    • 하지만 결합법칙은 성립한다.
      • (Ord A ⋅ Ord B) ⋅ Ord C = Ord A ⋅ (Ord B ⋅ Ord C)
  • Ord<n, ≤> ⋅ Ord<ℕ, ≤> = Ord<ℕ, ≤> (Ord<n, ≤>는 유한 순서수)
    • 유한 순서수와 자연수 순서수의 곱은 자연수 순서수와 같다.

순서수식

  • Ord A ⋅ Ord 1 = Ord A = Ord 1 ⋅ Ord A (Ord 1은 한 원소 집합)
    • 순서수 곱에는 항등원이 존재한다.
  • Ord A ⋅ ∅ = ∅ = ∅ ⋅ Ord A
    • 순서수와 공집합의 곱은 공집합이다.
  • Ord A ⋅ (Ord B + Ord C) = (Ord A ⋅ Ord B) + (Ord A ⋅ Ord C)
    • 순서수에는 분배법칙이 성립한다. (왼쪽에 곱할 경우만)
    • (Ord B + Ord C) ⋅ Ord A ≠ (Ord B ⋅ Ord A) + (Ord C ⋅ Ord A)
  • Ord A = Ord B ⇔ Ord C ⋅ Ord A = Ord C ⋅ Ord B (Ord C ≠ ∅)
  • Ord A < Ord B ⇔ Ord C ⋅ Ord A < Ord C ⋅ Ord B (Ord C ≠ ∅)
  • Ord A = Ord B ⇒ Ord A ⋅ Ord C = Ord B ⋅ Ord C (Ord C ≠ ∅)
    • 반대방향은 성립하지 않음
  • Ord A ⋅ Ord C < Ord B ⋅ Ord C ⇒ Ord A < Ord B (Ord C ≠ ∅)
    • 반대방향은 성립하지 않음
  • Ord A ⋅ Ord B = ∅ ⇔ Ord A = ∅ or Ord B = ∅
    • 두 순서수의 곱이 공집합이면 두 순서수 중 하나는 공집합
[ssba]

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지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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