데코수학/ 순서수의 폰노이만 정의

개념

  • Ord <{ x : 순서수 | x < α }, ≤순서수> = α
    • α라는 순서수 보다 작은 순서수 집합의 순서수는 α이다.
  • 모든 순서수를 모은 집합은 존재하지 않는다.
  • 순서수의 폰노이만 정의
    • 순서수를 집합 형태로 정의
    • 순서수 α := { x : 순서수 | x < α }
    • 어떤 순서수의 다음 순서수는 그 전의 순서수를 모두 모아 놓은 순서수
    • 예)
      • 순서수 0 := ∅
      • 순서수 1 := { 0 } = { ∅ }
      • 순서수 2 := { 0, 1 } = { ∅, { ∅ } }
      • 순서수 3 := { ∅,  { ∅ }, { ∅, { ∅ } } }
      • 순서수 4 := { ∅,  { ∅ }, { ∅, { ∅ } }, { ∅,  { ∅ }, { ∅, { ∅ } } } }
      • ω := { 0, 1, 2, 3, 4, … }
      • ω+1 := { 0, 1, 2, 3, 4, …, ω }
      • ω+2 := { 0, 1, 2, 3, 4, …, ω, ω+1 }
  • 집합 X의 초기순서수
    • | X | = min { x : 순서수 | x ~ X }
      • X의 초기순서수란 X와 대등한 모든 집합들 가운데 가장 작은 순서수를 의미
  • 폰노이만 순서수 정의에서 기수는 초기순서수를 의미 함.
  • 기수와 순서수 연산의 의미가 다르므로 주의
    • 기수 연산에서 ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 이지만, 순서수 연산에서 ω + ω > ω 이다.
      • 0 ω는 같지만
  • 폰노이만 정의에서는 다음이 성립
    • α =순서수 β ⇔ α =집합 β
      • 순서수로서 동일하면 집합으로서 동일
    • α < β ⇔ α ∈ β ⇔ α ⊂ β
      • 순서수로서 작다는 것은 원소이면서 부분집합
  • 지수자리가 유한순서인 경우 αn 형태로 정의 가능
  • 지수자리가 유한이 아닌 경우 최소 원소가 존재하지 않기 때문에 정의가 까다로움
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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