데코수학/ 자연수 만들기

개념

  • 페아노 공리 – 아래 구조를 만족하면 자연수 구조가 됨
    • 집합 X에 대하여
      • ∃m ∈ X
      • ∃S : X → X 함수
      • ∀x ∈ X, S(x) ≠ m
      • S(x) = S(y) ⇒ x = y (S: 단사)
      • (Y ⊆ X, m ∈ Y, ∀x ∈ Y, S(x) ∈ Y) ⇒ Y = X
    • 이때 X를 0을 포함한 자연수 집합, m을 0, S를 ‘다음 수’ 함수라고 부르면 이것이 바로 자연수 구조가 된다.
  • 논리와 집합을 이용하여 수 체계를 만들 수 있음
  • 자연수 덧셈 연산 정의
    • 페아노 공리를 만족하는 구조 X에 대하여 함수 + : X × X → X를 다음으로 정의한다.
      • a, b ∈ X
      • (b = m) ⇒ +(a, b) = a
      • (b ≠ m) ⇒ ∃c, b = S(c) ⇒ +(a, b) = S(+(a, c))
    • +(a, b) 표기는 a + b로 쓸 수 있음. 위의 내용을 아래와 같이 요약
      • a + m = a
      • a + S(b) = S(a+b)
    • 덧셈 예시
      • m + S(m) = S(m+m) = S(m)
      • S(S(S(m))) + S(m) = S(S(S(S(m))) + m) = S(S(S(S(m))))
      • S(m) + S(S(m)) = S(S(m) + S(m)) = S(S(S(m) + m)) = S(S(S(m)))
    • 위의 정의에 따른 덧셈은 교환 법칙, 결합 법칙, 항등원을 만족
      • a + b = b + a
      • a + (b + c) = (a + b) + c
      • a + m = m + a = a
  • 자연수 곱셈 연산 정의
    • 페아노 공리를 만족하는 구조에 대하여 함수 ⋅ : X × X → X를 다음으로 정의한다.
      • a, b ∈ X
      • a ⋅ m = m (⋅(a, b)를 a ⋅ b로 표기)
      • a ⋅ S(b) = a + (a ⋅ b) (⋅(a, b)를 a ⋅ b로 표기)
    • 곱셈 예시
      • S(m) ⋅ S(S(m)) = S(m) + (S(m) ⋅ S(m)) = S(m) + (S(m) + (S(m)⋅m)) = S(m) + S(m) = S(S(m) + m) = S(S(m))
    • 위의 정의에 따른 곱셈은 교환 법칙, 결합 법칙, 항등원, 분배 법칙을 만족
      • a ⋅ b = b ⋅ a
      • a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
      • a ⋅ S(m) = a
      • a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
  • 자연수 순서 관계 정의
    • 페아노 공리를 만족하는 구조에 대하여 관계 ≤ : X → X를 다음으로 정의한다.
      • a, b ∈ X
      • a ≤ b ⇔ ∃c, b = a + c
    • 관계 ≤ 는 정렬전순서 관계이다.
  • 동형사상
    • 페아노 공리를 만족하는 X1, X2에 대하여, φ : X1 ≈ X2인 함수가 존재한다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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