데코수학/ 정수, 유리수 만들기

개념

  • 0과 자연수로 정수 만들기
    • 이전에 정의한 자연수 체계를 확장해서 정수를 정의
    • 기존 구조를 포함하고 추가로 역원을 만들면 가능
    • 자연수를 이용하여 동치류를 정의하고 동치류 사이의 연산을 정의
  • 0을 포함하는 자연수 집합을 이용하여 정수 집합을 정의
    • 0을 포함하는 자연수 집합을 다음과 같이 카테시안 형태로 정의
      • ( { 0 } ∪ ℕ ) × ( { 0 } ∪ ℕ )
        • (0, 0), (0, 1), (0, 2)… (1, 0), (2, 1)..
    • 다음과 같은 관계를 정의
      • (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c
      • Ex)
        • (0, 0) ~ (1, 1) ~ (2, 2) ~ (3, 3) ~…
        • (0, 1) ~ (1, 2) ~ (2, 3) ~ …
        • (1, 0) ~ (2, 1) ~ (3, 2) ~ …
      • 즉 모든 원소들은 (0, 0), (0, 1), (0, 2)…와 대등하거나 (1, 0), (2, 0), (3, 0)…과 대등한 것들로 나뉜다.
    • 위 동치류들의 집합에서 연산을 다음과 같이 정의
      • (a, b)/~ +* (c, d)/~ = (a+c, b+d)/~
        • (a, b)의 동치류들과 (c, d)의 동치류들의 덧셈은 (a+c, b+d)의 동치류들과 같다.
      • (a, b)/~ ⋅* (c, d)/~ = (ac+bd, ad+bc)/~
        • (a, b)의 동치류들과 (c, d)의 동치류들의 곱셈은 (ac+bd, ad+bc)의 동치류들과 같다.
      • 덧셈 예시
        • (2, 0)/~ +* (1, 7)/~ = (3, 7)/~ = (0, 4)/~
      • 곱셈 예시
        • (3, 2)/~ ⋅* (2, 3)/~ = (12, 13)/~ = (0, 1)/~
    • 위의 식을 다음과 같이 표기하고 이런 체계를 정수 집합으로 정의함
      • (0, 0)/~ 는 ±0이라 부른다.
      • (0, n)/~ 는 +n이라 부른다.
      • (n, 0)/~는 -n이라 부른다.
      • +*는 정수 덧셈으로 부른다.
      • ⋅*는 정수 곱셈이라 부른다.
  • 정수 구조를 이용하여 유리수 구조를 직접 구성
    • 정수를 다음과 같은 카테시안 형태로 정의
      • ℤ × (ℤ ∖ {±0})
    • 다음과 같은 관계를 정의
      • (a, b) ≈ (c, d) ⇔ a ⋅* d = b ⋅* c (이것은 동치 관계가 된다)
    • 위 동치류들의 집합에서 연산을 다음과 같이 정의 ((a, b)/≈ 는 a / b로 표기)
      • a / b +’ c / d = (ad + bc) / bd
      • a / b ⋅’ c / d = ac / bd
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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