데코수학/ 벡터의 점곱

개념

  • 벡터의 점곱(Dot Product) – 좌표적 정의
    • \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} +  u_{2} \cdot v_{2} +  u_{3} \cdot v_{3} + ... +  u_{n} \cdot v_{n})
      • 두 벡터 사이의 ⋅ 곱은 스칼라가 된다.
  • 벡터의 점곱(Dot Product)  – 다른 정의
    • \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|\cos \theta
      • \|\vec{u}\| 는 벡터의 크기
      • \theta \vec{u} \vec{v} 의 사이각
  • 위 2가지 곱의 결과는 동치다
  • 벡터의 크기 (norm)
    • \|\vec{u}\|
      • = \sqrt{(u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + ... + u_{n}^{2})}
      • = \sqrt{(u_{1} \cdot u_{1} + u_{2} \cdot u_{2} + ... + u_{n} \cdot u_{n})}
      • = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}
      • 벡터의 크기는 각 항의 제곱을 더한 후 제곱근을 취하는 것
      • 각 항을 제곱한 후 더한 것은 벡터의 Dot Product가 된다. 벡터의 크기는 벡터의 Dot Product를 한 후 제곱근을 취한 것
  • 벡터간 거리
    • \|\vec{u}-\vec{v}\|
  • 단위벡터 \hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}
    • 단위벡터란 벡터 A의 길이가 1이 되도록 축소한 것을 의미. (정규화 normalization이라고도 한다)
    • 벡터를 벡터의 크기로 나눈 값
  • proj_{\vec{v}} \vec{u} = \|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v}
    • (\vec{v} 에 대한 \vec{u} 의 프로젝션을 proj_{\vec{v}} \vec{u} 이라 표기하고 그 값은 \|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v} 이 된다.)
  • n차원 벡터는 n개의 방향이 서로 다른 벡터들의 합으로 나타낼 수 있다.
    • \vec{u} = (3, 4, 5), \vec{x} = (1, 0, 0), \vec{y} = (0, 1, 0), \vec{z} = (0, 0, 1) 이라고 할 때
      • \vec{u} = 3\vec{x} + 4\vec{y} + 5\vec{z} 와 같은식으로 나타낼 수 있음
      • 이때의 x, y, z를 각각 \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} 라고 표시한다.
  • 단위벡터는 좌표축들과 각도를 알면
    (\cos \theta_{1},  \cos \theta_{2}, ... , \cos \theta_{n}) 으로 나타낼 수 있다.

벡터식

  • \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
  • (\alpha \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = \alpha \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})
  • \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) +  (\vec{a} \cdot \vec{c})
  • \vec{a} \cdot \vec{b} \ge \vec{0}
  • \|\alpha \cdot \vec{a}\| = |\alpha|\cdot \vec{a}
  • \|\vec{a}\|^{2} = (\vec{a})^{2}
  • \|\vec{a}-\vec{b}\|^{2} = (\vec{a})^{2} + (\vec{b})^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}
  • \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})
    • ⊥: 수직
  • \vec{a} \cdot \vec{b} \le \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|
  • \|\vec{a} + \vec{b}\| \le \|\vec{a}\| + \|\vec{b}\|
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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