데코수학/ 벡터의 가위곱

개념

  • 3차원 직교좌표계 (a, b, c) = a \hat{x} + b \hat{y} + c \hat{z} 에 대한 Cross Product는
    • \vec{u} \times \vec{v}
      • = \left| \begin{array}{rrr}  \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3   \end{array} \right|
      • = \left| \begin{array}{rr} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3  \end{array} \right| \hat{x} + \left| \begin{array}{rr} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3  \end{array} \right| \hat{y} + \left| \begin{array}{rr} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2  \end{array} \right| \hat{z}
      • = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \hat{x} + (u_1 v_3 - u_3  v_1) \hat{y} + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \hat{z}
      • = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_1 v_3 - u_3  v_1, u_1 v_2 - u_2 v_1)
      • \because \left| \begin{array}{rr} a & b \\ c & d  \end{array} \right| = ad - bc  로 계산
  • \vec{u} \times \vec{v} 의 기하학적 정의
    • 크기: \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin \theta
      • 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 됨
    • 방향: \vec{u} 에서 \vec{v} 방향으로 돌아가는 오른손 엄지 방향
      • Cross Product가 오른손 방향인 이유는 2차원일 때 이미 오른손 방향을 따랐기 때문. 거기서 Cross Product를 하면 3차원의 방향이 자연스럽게 결정된다.
      • 180도를 넘으면 방향이 반대가 됨
  • Cross Product는 회전력 (Torque)을 구하기 위해 사용
  • 두 벡터를 Dot Product를 하면 스칼라가 나오지만, 두 벡터를 Cross Product 하면 벡터가 나온다.

벡터식

  • (Cross Product는 안되는 연산이 많다)
  • \vec{u} \times \vec{0} = \vec{0} \times \vec{u} = \vec{0}
  • \vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}
  • (\alpha \vec{u}) \times \vec{v} = \alpha (\vec{u} \times \vec{v})
  • \vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{u} \times \vec{w})
  • \vec{u} \times \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} // \vec{v}
    • // 는 평행
  • \|\vec{u} \times \vec{v}\|^{2} = \|\vec{u}\|^{2} \|\vec{v}\|^{2} - (\vec{u} \cdot \vec{v})^{2}
  • \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{w}) = \vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})
    • 스칼라 3중곱. 결과가 스칼라가 되기 때문
  • \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}
    • 벡터 3중곱. 결과가 벡터가 됨. 우변의 괄호 안의 결과가 스칼라가 되기 때문에 괄호 안의 결과와 벡터의 곱은 dot product가 아니라 상수곱이 된다.
  • \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{0}
    • 다른 벡터와 cross product를 한 후에 다시 자기 자신과 dot product를 하면 0벡터가 된다. 수직이라는 이야기.

[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.