데코수학/ 함수에 벡터가 들어가면 어떻게 될까?

개념

  • 일변수 실함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}
      • f(x) = x^{2}
      • f(x) = \sin x
      • f(t) = t^{3} - e^{t}
      • t^{2} + f(t)^{2} = 4 (f(t) \ge 0)
  • 일변수 벡터함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n이 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}^{n}
    • 파라미터는 1개지만 결과는 벡터로 나오는 경우. 결과가 일변수 실함수를 여러 개.
    • f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t),  ...  f_{n}(t))
    • 매개곡선이라고 부르기도 한다.
    • \vec{\alpha}(t), \vec{\beta}(t), \vec{\gamma}(t)...  등으로 표기
      • \vec{\alpha}(t) = (\cos t, \sin t)
      • \vec{\beta}(t) = (t, t^{2})
      • \vec{\gamma}(t) = (\cos t, \sin t, t^{2})
  • 다변수 실함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 m이 1인 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}
    • 이런 함수를 스칼라장이라고도 부름
    • f(x, y), f(\vec{x}), V(x, y, z), \phi(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  등으로 표기
      • f(x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}
      • V(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4x_{1} + x_{2}^{2}
      • \phi (x, y) = x^{2} - y^{2}
      • f(x, y, z) = 3x^{2} - 4y^{2} + 5z^{2}
  • 다변수 벡터함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1이 아닌 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}^{m}
    • 즉, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}),  f_{2}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), ... , f_{m}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}))
    • 벡터장이라 부르기도 한다.
    • \vec{F}, \vec{G}, \vec{H} (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) 등으로 표기
      • \vec{F}(x, y) = (x, -y)
      • \vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)
      • \vec{F}(x, y) = (2, 3)
      • \vec{F}(x, y) = (x+y, -y, x^{2})
      • \vec{F}(x, y) = (-y, x)
      • \vec{F}(x, y) = (\frac{-x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{-y}{x^{2} + y^{2}} )
      • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = M \left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right)
        • M : m × n 행렬

[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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