데코수학/ 다변수 실함수의 극한, 연속

개념

  • 다변수 실함수의 극한
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a
    • \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, (0 < \|\vec{x} - \vec{p}\| < \delta \Rightarrow | f(x) - a | < \epsilon)
    • \Leftrightarrow \vec{x} \vec{p} 에 가까울수록, f(\vec{x}) a 에 가까운 값이다. (엄밀하지 않은 정의)
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} x = a
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} y = b
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} c = c (c는 상수)
      • \lim_{(x, y) \to (1, 2)} x + y = 3
    • 경로에 따라 일변수 극한값이 달라진다면, 그 함수는 극한이 존재하지 않는다.
  • 다변수 실함수의 연속
    • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속 \Leftrightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = f(\vec{p}) 에서 연속
    • f(\vec{x}) : 연속 \forall \vec{p}, f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
    • f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} : \vec{p} 에서 연속 일 때
      • f(\vec{x}) + g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
      • f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
      • {f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} : \vec{p} 에서 연속 (\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) \neq 0)
    • h(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : f(\vec{p}) 에서 연속, f(\vec{x}) = \vec{p} 에서 연속 \Rightarrow h(f(\vec{x})) : \vec{p} 에서 연속

다변수 실함수식

  • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a, \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) = b  일 때
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) = a + b
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) = a \cdot b
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} {f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} = {a \over b} (b \neq 0)
    • h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{t \to a} h(t) = c \Rightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} h(f(\vec{x})) = c
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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