데코수학/ 다변수 실함수의 편미분

개념

  • f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}
    • f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) : (P_{1}, P_{2}, ... P_{n}) : 에서 변수 x_{k} 에 대해 편미분 가능 \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} { f(P_{1}, P_{2}, ... P_{k}+h, ... P_{n}) - f(P_{1}, P_{2}, ... P_{n}) \over h} 가 존재
    • {\partial f \over \partial x_{k}} = \lim_{h \to 0} { f(x_{1}, x_{2}, ... x_{k}+h, ... x_{n}) - f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \over h}
      • f x_{k} 에 대해 편미분한 함수
  • 편미분 표기법
    • {\partial \over \partial y} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial y \partial x} f
    • {\partial \over \partial x} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial x^{2}} f
  • f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 에 대하여
    • {\partial f \over \partial x_{i}}, {\partial f \over \partial x_{j}}, {\partial f \over \partial x_{i} \partial x_{j}} : \vec{P} 에서 연속이면
      • \Rightarrow {\partial^{2} f \over \partial x_{i} \partial x_{j} } (\vec{P}) = {\partial^{2} f \over \partial x_{j} \partial x_{i}} (\vec{P}) (편미분 순서를 바꿔도 결과가 동일하다) – 클레로 정리
  • 평균값 정리
    • 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다.
    • 기하학적 관점에서 곡선의 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선이 구간 내에 존재한다는 뜻이 됨
  • 편미분은 축 방향 (x축 또는 y축) 의 접선의 기울기를 의미, 전미분은 접공간 (tangent space라고도 함)을 구하는 것.

편미분 계산 예

  • {\partial^{2} \over \partial x \partial y} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial x} (x \cos y + e^{x}) = \cos y + e^{x}
    • 삼각함수 미분
      • {d \over dx} \sin x = \cos x
      • {d \over dx} \cos x = -\sin x
      • {d \over dx} \tan x = \sec^{2} x
  • {\partial^{2} \over \partial y \partial x} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial y} (\sin y + y e^{x}) = \cos y + e^{x}
  • {\partial^{2} \over \partial y \partial x} x^{y} = {\partial \over \partial y} y \cdot x^{y-1} = x^{y-1} + y \cdot \ln x \cdot x^{y-1}
    • 곱의 미분
      • {d \over dt} f(t) \cdot g(t) = ({d \over dt} f(t)) g(t) + f(t)({d \over dt} g(t))
    • 지수의 미분
      • {d \over dt} a^{t} = \ln a \cdot a^{t} (\ln a = \log_{e} a)

[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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