데코수학/ 다변수 실함수의 미분

개념

  • 미분의 기본 개념. f(x) x_{0} 에서 미분가능하다.
    • \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} {f(x_{0}+h) - f(x_{0}) \over h} 가 존재
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) \over x - x_{0}} = a
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = 0
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0, {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = \epsilon (x)
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (\lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0), f(x) = f(x_{0}) + a(x -x_{0}) + \epsilon (x)(x - x_{0})
      • 여기까지 유도된 형식은 다변수를 다루기가 좋다.
      • x_{0} 에 아주 가까워지면 f(x) 가 일차식처럼 보인다.
      • a(x - x_{0}) \epsilon (x) (x - x_{0}) 모두 0에 가까워지는데, a(x - x_{0}) 는 1차식으로 0에 가까워지는 반면, \epsilon (x) (x - x_{0}) 은 훨씬 빠른 속도로 0에 가까워진다.
  • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능
    • \Leftrightarrow \exists a_{1}, a_{2}, ... a_{n} \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (\lim_{\vec{x} \to\vec{p}} \epsilon (\vec{x}) = 0), f(\vec{x}) = f(\vec{p}) + a_{1}(x_{1} - p_{1}) + a_{2}(x_{2} - p_{2}) + ... + a_{n}(x_{n} - p_{n}) + \epsilon(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
  • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능 \Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
  • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능 \Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 일차식으로 근사시킬 때, 그때 일차항의 계수 a_{1}, a_{2}, ... a_{n} 들은 {\partial f \over \partial x_{1}} |_{(\vec{p})}, {\partial f \over \partial x_{2}} |_{(\vec{p})}, ... {\partial f \over \partial x_{n}} |_{(\vec{p})} 의 값이다.
    • | 는 대입기호. f |_{x} 는 함수 f에 x를 대입한다는 뜻.
  • f(\vec{x}) 의 모든 편미분이 존재하고, 모두연속이면 \Rightarrow f(\vec{x}) 는 미분 가능
  • (결국 전미분은 각 변수에 대해 편미분 한 것들을 다 더하면 된다.)

[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.