데코수학/ 다변수실함수의 그래디언트

개념

  • 델 연산자 \vec{\nabla} = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}} , ... , {\partial \over \partial x_{n}})
    • grad f = \vec{\nabla} f = ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}} , ... , {\partial f \over \partial x_{n}}) (grad는 그레디언트)
  • 표기법 d f
    • = {\partial f \over \partial x_{1}} dx_{1} + {\partial f \over \partial x_{2}} dx_{2} + ... + {\partial f \over \partial x_{n}} dx_{n}
    • = ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}}, ... , {\partial f \over \partial x_{n}}) \cdot (dx_{1}, dx_{2}, ... , dx_{n})
    • = \nabla f \cdot d \vec{x}
  • 방향 미분
    • D_{\hat{u}} f := \lim_{h \to 0} {f(\vec{x} + h \cdot \hat{u}) - f(\vec{x}) \over h}
    • \vec{x} 에서 \hat{u} 방향으로 진행할 때의 접선의 기울기
  • D_{\hat{u}} f = \vec{\nabla} f \cdot \hat{u}
  • \nabla f = \vec{0} \Rightarrow \forall \hat{u}, D_{\hat{u}} f = 0
    • 그레디언트가 0인 점은 모든 방향으로 가도 접선의 기울기가 0이다.
  • \vec{x} 에서 f(\vec{x}) 가 가장 빨리 증가하는 방향은 벡터 \nabla f 의 방향이다.

미분식

  • \vec{\nabla} (c \cdot f) = c \cdot \vec{\nabla} f
  • \vec{\nabla} (f + g) = \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g
  • \vec{\nabla} (f \cdot g) = f \cdot \vec{\nabla} g + g \cdot \vec{\nabla} f
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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