데코수학/ 다변수실함수의 최적화 문제

개념

  • N_{\delta}(\vec{p}) := { \vec{x} | \|\vec{x} - \vec{p} \| < \delta }
    • f(\vec{p}) : 극대값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \geq f(\vec{x})
    • f(\vec{p}) : 극소값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \leq f(\vec{x})
  • \Omega(\subseteq \mathbb{R}^{n}) : 유계, 닫힌집합, f : \Omega \to \mathbb{R} 연속 \Rightarrow f 는 최대값, 최소값을 가진다.
    • 유계는 범위가 무한하지 않다는 뜻.
    • 닫힌 집합이라는 것은 범위 경계도 포함한다는 뜻.
  • f(x, y) (p, q) 에서 2번 미분가능하고 \nabla f |_{(p, q)} = \vec{0} 일 때,
    • Let. A = {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} \cdot {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} - ({\partial^{2} f \over \partial x \partial y} |_{(p, q)})^{2}
    • A > 0
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} < 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} < 0 \Rightarrow f(p, q) : 극대
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} > 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} > 0 \Rightarrow f(p, q) : 극소
    • A < 0
      • f(p, q) : 안장점
      • 안장점이란 극대이면서 동시에 극소인 점. 어떤 방향에서 보면 극대이고 어떤 방향에서 보면 극소가 된다.
  • f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능, f(\vec{p}) 극값, g(\vec{p}) = 0
    • \Leftrightarrow \exists \lambda, \nabla f |_{\vec{p}} = \lambda \nabla g |_{\vec{p}}
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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