데코수학/ 다변수 벡터함수의 미분 (야코비행렬, 역함수정리)

개념

  • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = (F_{1}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), F_{2}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), ... F_{n}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}))
    • d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})
    • = \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right) (벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
    • = \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2}  + ... + a_{1n} dx_{n}  \\  a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2}  + ... + a_{2n} dx_{n}  \\ ... \\  a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2}  + ... + a_{mn} dx_{n}  \end{array} \right)
    • = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn}  \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\  dx_{2}  \\ ... \\  dx_{n}  \end{array} \right)
    • = J_{\vec{F}} \cdot d \vec{x}
      • (J_{\vec{F}} 은 야코비 행렬이라 부른다)
      • 벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
  • (J_{\vec{F}})_{ij} := {\partial F_{i} \over \partial x_{j}}
  • \vec{T} : \vec{p} 에서 미분 가능
    • \Leftrightarrow \vec{T}(\vec{x}) = \vec{T}(\vec{p}) + J_{\vec{T}} |_{\vec{p}} (\vec{x} - \vec{p}) + \vec{S}(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
      • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}
  • \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, \vec{G} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k} 이고 각각 미분 가능하면
    • \Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |_{\vec{x}} = J_{\vec{G}} |_{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J_{\vec{F}} |_{\vec{x}}
  • (J_{\vec{G} \circ \vec{F}})_{ij} = {\partial(\vec{G} \circ \vec{F})_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial G_{i}(\vec{F}(\vec{x})) \over \partial x_{j}}
    • = {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} +  {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... +  {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}} (∵ 연쇄법칙)
    • = \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}
    • = \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}})_{il} (J_{\vec{F}})_{lj}
    • = (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}} \cdot J_{\vec{F}})_{ij}
  • 역함수 미분법 (일변수 실함수)
    • f(x) : 미분 가능, \forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
    • f(x) : 미분 가능, f^{-1} 가 존재 \Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}
    • f(x) = x^{2} 과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 {df \over dx} \neq 0 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
  • \vec{F}(\vec{x}) 의 역함수 \vec{F}^{-1}(\vec{x})  가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
    • J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1} 이다.

[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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