데코수학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 1

개념

  • 벡터장에서 어떤 점을 기준으로 주변에 많은 벡터들이 퍼지거나 모이거나(다이버전스), 돌아가는 정도(커얼)을 나타내는 법.
    • \vec{p} 주변의 아주 아주 작게 잡은 4개의 벡터만 보면 된다.
    • \vec{p} (p_{1}, p_{2}) 라 할 때 그 주위의 4개 벡터는 다음의 4개가 된다.\vec{F}(p_{1} + \Delta x, p_{2}),  \vec{F}(p_{1} - \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1}, p_{2} + \Delta y),  \vec{F}(p_{1}, p_{2} - \Delta y)
  • \mathbb{R}^{2} 에서 다이버전스 정의
    • 2차원 공간에서 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수평인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 퍼지는 정도는 F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) 가 되고 y 축으로 퍼지는 정도는 F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) 가 된다.
    • 총 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y 축으로 퍼지는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x} - {F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y} - {F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial F_{1} \over \partial x} + {\partial F_{2} \over \partial y}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}) \cdot (F_{1}, F_{2}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}|_{(p_{1}, p_{2})}
    • 다이버전스는 각 축에서 퍼지는 정도가 다른 축에 영향이 없으므로 \mathbb{R}^{n} 이라면 n개의 축을 다 더하면 된다.
      • {\partial F_{1} \over \partial x_{1}} + {\partial F_{2} \over \partial x_{2}} + ... + {\partial F_{n} \over \partial x_{n}}
      • = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}}, ... , {\partial \over \partial x_{n}}) \cdot (F_{1}, F_{2}, ... , F_{n})
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}
  • \mathbb{R}^{2} 에서 커얼 정의
    • 2차원 공간에서 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수직인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 돌아가는 정도는 F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) 가 되고 y 축으로 돌아가는 정도는 F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) 가 된다.
    • 총 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y 축으로 돌아가는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 \Delta x} +  {F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta x)}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 \Delta y} +  {F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 (- \Delta y)})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & 0 \\ F_{1} & F_{2} & 0 \end{array} \right|
      • = 0 \hat{x} - 0 \hat{y} + ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) \hat{z}
      • 2차원에서 회전일 경우엔 z축이 이용된다. cross product
      • ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) 은 회전하는 양이 되고, \hat{z} 은 회전하는 방향이 된다.
    • \mathbb{R}^{3} 에서 커얼 정의
      • \mathbb{R}^{3} 에서 회전축은 3개 축의 회전된 정도를 모두 이용한다.
      • \hat{z} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{2}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) - F_{2}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} - {F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) + F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
      • \hat{y} 를 축으로 돌아간 정도
        • -{F_{3}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) + F_{3}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) - F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • \hat{x} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{3}(\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{3}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y} - {F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) + F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • 각 돌아간 정도에 limit를 붙이고 식을 풀어 쓰면 다음과 같은 식이 만들어진다.
        • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{z} -  {\partial F_{3} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{z} + {\partial F_{3} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{x} + {\partial F_{1} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{2} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{x}
        • = \hat{x} ({\partial F_{3} \over \partial y} - {\partial F_{2} \over \partial z})  - \hat{y} ({\partial F_{3} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial z}) + \hat{z} ({\partial F_{2} \over \partial x} -  {\partial F_{1} \over \partial y})
        • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} &  {\partial \over \partial z}  \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|
        • = (\vec{\nabla} \times \vec{F})_{\vec{p}}
    • 4차원 이상에서는 커얼을 정의하지 않는다. 왜냐하면 cross product를 4차원 이상에서는 정의하지 않기 때문.

[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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