데코수학/ 다변수 실함수의 다중적분 (푸비니 정리)

개념

  • 다변수 실함수의 리만적분
    • f(\vec{x}) 가 유계인 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) 에서 리만적분 가능 \Leftrightarrow \Omega P_{1}, P_{2}, ... , P_{n} 인 영역으로 분할한 뒤, 각각의 영역에서 점 \vec{t}_{1}, \vec{t}_{2}, ... , \vec{t}_{n} 을 뽑았을 때,
      \sum_{i=1}^{n} f(\vec{t}_{i}) \cdot (영역 P_{i} 의 크기) 이 값이 분할 방법과 뽑는 방법에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴한다.
    • \Omega : 적분영역, 항상 같은 값으로 수렴하는 그 값을 \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} dx_{2} \land ... \land dx_{n} 라고 표기
  • 다중적분의 성질
    • \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} (\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset)
      • \Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega_{1}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega_{2}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} \alpha f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \alpha \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} =  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • f(\vec{x}) \leq g(\vec{x}) (\vec{x} \in \Omega)
      • \Rightarrow  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} \leq \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
  • 푸비니 정리
    • 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) x = a, x= b, y = g_{2}(x), y = g_{1}(x) 들로 둘러 쌓여 있을 경우
      • \int_{\Omega} f(x, y) dx \land dy = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) dy) dx 가 성립
  • 다변수 실함수 다중적분의 기하학적 의미
    • \Omega n 차원 영역일 때,
      \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} 의 의미는
      • \Omega 를 밑면으로 f 를 높이로 하는 n+1 차원의 부피를 의미한다.

[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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