데코수학/ 다변수벡터함수의 곡선적분

개념

  • 벡터장 \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} , 곡선 C \subseteq \mathbb{R}^{n} (C : 조각적으로 미분가능, \vec{F} : 연속)
    • 선 C가 조각적으로 미분가능이므로 선 C 위에 있는 점을 \vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, ... , \vec{x}_{n} 으로 분할 하면 i번째 조각은 \vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1} 이 되고,
    • 이때 이 조각을 이동하는데 받은 일의 양은 \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}) 가 된다.
    • 그러므로 C를 이동하면서 받은 총 일의 양은 \sum_{i = 1}^{n} \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}) 이다.
    • 조각들의 길이가 0이 되도록 분할하면 \int_{\vec{x} \in C} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d \vec{x} 가 된다.
  • C : \vec{\alpha}(t), a \leq t \leq b 로 매개화 된 경우, C를 \vec{\alpha}(t_{0}), \vec{\alpha}(t_{1}),  ... , \vec{\alpha}(t_{n})  로 분할
    • \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot (\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}))
    • = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot ({\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}) \over (t_{i} - t_{i-1})} (t_{i} - t_{i-1}))
    • = \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{\alpha}(t)) \cdot \dot{\vec{\alpha}}(t) dt
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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