데코수학/ 다변수벡터함수의 곡선적분

개념

  • \vec{F}(\vec{x}) : 보존적 (conservative)
    • \Leftrightarrow  \exists \phi : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, \vec{F} = \nabla \phi
    • 보존적인 벡터장이란, 벡터장 F를 어떤 다변수 실함수의 그레디언트로 나타낼 수 있는 경우를 말함.
    • 그레디언트를 취해서 보존적인 벡터장이 되는 스칼라 함수를 포텐셜 함수라고 한다. 역으로 말해서 보존적인 벡터장은 포텐셜 함수가 존재하는 벡터장이라고 할 수 있다.
  • \vec{F} : 보존적
    • \Leftrightarrow \vec{F} 의 선적분이 시작점과 끝점으로 결정되고, 경로와 무관하다.
    • \Leftrightarrow 폐곡선 경로에선, \vec{F} 의 선적분이 0이다.
  • \vec{F} : 모든 편미분이 연속, 보존적
    • \Rightarrow {\partial F_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial F_{j} \over \partial x_{i}}
  • \vec{F} : \Omega 에서 미분가능, \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} : 단순 연결 영역(simply connected), {\partial F_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial F_{j} \over \partial x_{i}}
    • \Rightarrow \vec{F} : 보존적
    • simply connected란 영역 안에서 잡아 당겼을 때 한점으로 만들 수 있는 영역이 존재하는 경우 말함. 영역 안에 구멍이 있으면(도넛 모양) 잡아 당겼을 때 한 점으로 모을 수 없으므로 단순 연결 영역이 아님.
  • 선적분은 물리학과 연결이 되는데, 일을 한 양을 구하는데 사용된다. 선적분 하는 것이 결국 일을 한 양이 됨. (위치 에너지의 차이를 구하는 것이 선적분). 포텐셜 함수는 위치 에너지가 된다.
  • \phi: \vec{F} 의 포텐셜 함수 \Rightarrow \phi + c : \vec{F} 의 포텐셜 함수
  • 벡터미적분은 물리학자들이 만든 수학. 그걸 수학자들이 더 엄밀하게 만들어서 미분 기하학이 됨.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.