데코수학/ 그린 정리

개념

  • 영역 (\Omega ), 경계 (\partial \Omega )
    • 2차원 영역에서는 테두리, 3차원 영역에서는 표면, 1차원 선에서는 양 끝점이 경계가 된다.
  • 조르당 곡선정리
    • 평면에서 단순 폐곡선 C는 평면을 내부영역과 외부영역으로 분할한다. (단순 폐곡선이란 중간에 겹치는 점 없이 이루어진 폐곡선)
  • 폐곡선의 방향과 부호
    • 영역 (\Omega )의 경계 (\partial \Omega ) 에 대하여, 곡선을 진행할 때 영역이 왼쪽에 놓이게 되는 방향을 + 방향이라고 한다.
      • 영역이 안쪽에 있으면 반시계 방향, 영역이 바깥쪽에 있으면 시계방향이 + 방향이 된다.
      • 좌표계의 오른손 법칙, 벡터곱과 관련되어 이렇게 정의 함.
  • 그린 정리
    • \Omega (\subseteq \mathbb{R}^{2}) : 조각적으로 매끄러운 단순폐곡선 c_{1}, c_{2}, ... c_{n} 으로 둘러 쌓인 영역 (c_{2}, ... c_{n} c_{1} 내부에 있고, c_{1}, c_{2}, ... c_{n} 들은 서로 겹치지 않음)
      • 내부에 구멍이 유한개 뚫려 있는 단순 폐곡선을 의미
      • 조각적으로 매끄러운 것은 미분 불가능한 지점이 있을 수 있음
    • 그리고 \vec{F} \Omega 에서 미분 가능하면
    • \Rightarrow \int_{\Omega} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{z} dx \land dy = \int_{\Omega}\vec{F} \cdot d\vec{x}

[ssba]

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지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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