데코수학/ 벡터미적분학/ 곡면적분

개념

  • 곡면을 나타내는 법
    • 매개곡면 \vec{\alpha} (t_{1}, t_{2}): \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{n} 로 나타내는 법
      • 곡면 위에 각 점의 위치: \vec{\alpha} (t_{1}, t_{2})
      • (미분 가능한 곡면의 경우엔) 곡면 위의 각 점에서 단위법선벡터: \hat{({\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{1}} \times {\partial vector-alpha \over \partial t_{2}})} (vector-alpha는 \vec{\alpha} 인데, Latex 에러로 표기가 안되서 대체 표기)
      • 곡면 위 각 점에서 넓이 조각: \|{\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{1}} \times  {\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{2}} \| dt_{1} \land dt_{2}
    • \mathbb{R}^{3} 에서 F(x, y, z) = 0 이나 z = f(x, y) 로 나타내는 법
      • 곡면 F(x, y, z) = 0 에 대하여 곡면상의 점 (x, y, z) 에서
        • 법선: \nabla F
        • 면적조각: d A

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