데코수학/ 원통좌표계 , 구면좌표계

개념

  • 원통좌표계 (R, \theta, z )
    • R : xy 평면상에서 원점부터의 거리
    • \theta : x축에서 y축으로 돌아간 각도 (0 \leq \theta < 2 \pi )
    • z : 높이
  • 직교 좌표계의 단위 벡터 \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} 를 원통좌표계의 단위벡터 \hat{R}, \hat{\theta}, \hat{z} 로 고치기
    • \hat{R} = \cos \theta \hat{x} + \sin \theta \hat{y}
    • \hat{\theta} = - \sin \theta \hat{x} + \cos \theta \hat{y}
    • \hat{z} = \hat{z}
    • \hat{x} = \cos \theta \hat{R} - \sin \theta \hat{\theta}
    • \hat{y} = \sin \theta \hat{R} + \cos \theta \hat{\theta}
    • \hat{z} = \hat{z}
  • 미소량 dx, dy, dz, dx \wedge dy, dy \wedge dz... 등을 dR, d\theta, dz 로 고치기
    • dx = \cos \theta dR - R \sin \theta d\theta
    • dy = \sin \theta dR + R \cos \theta d\theta
    • dz = dz
    • dx \wedge dy = R dR \wedge d\theta
    • dx \wedge dy \wedge dz = R dR \wedge d\theta \wedge dz
    • d \vec{l} = dR \hat{R} + R d\theta \hat{\theta} + dz \hat{z}
  • 직교좌표계의 편미분 {\partial f \over \partial x},  {\partial f \over \partial z} {\partial \over \partial R}, {\partial \over \partial \theta} 로 고치기
    • {\partial f \over \partial x} = \cos \theta {\partial f \over \partial R} - {\sin \theta \over R} {\partial f \over \partial \theta}
    • {\partial f \over \partial y} = \sin \theta {\partial f \over \partial R} + {\cos \theta \over R} {\partial f \over \partial \theta}
    • {\partial f \over \partial z} = {\partial f \over \partial z}
  • \nabla f, \nabla \cdot \vec{F}, \nabla \times \vec{F}, \nabla^{2} f 를 원통좌표계 표현법으로 고치기
    • \nabla f = {\partial f \over \partial R} \hat{R} + {1 \over R} {\partial f \over \partial \theta} \hat{\theta} + {\partial f \over \partial z} \hat{z}
    • \nabla \cdot \vec{F} = div(F_{R}\hat{R} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{z}\hat{z})
      • = {1 \over R} {\partial \over \partial R} (R F_{R}) + {1 \over R} {\partial F_{\theta} \over \partial \theta} + {\partial F_{z} \over \partial z}
    • \nabla \times \vec{F} = curl(F_{R}\hat{R} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{z}\hat{z})
      • = ({1 \over R} {\partial F_{z} \over \partial \theta} - {\partial F_{\theta} \over \partial z}) \hat{R} + ({\partial F_{R} \over \partial z} - {\partial F_{R} \over \partial R}) \hat{\theta} + {1 \over R} ({\partial \over \partial R} (R F_{\theta}) - {\partial F_{R} \over \partial \theta}) \hat{z}
    • \nabla^{2} f = div(\nabla f)
      • = {1 \over R} {\partial \over \partial R} (R {\partial f \over \partial R}) + {1 \over R^{2}} {\partial^{2} f \over \partial \theta^{2}} + {\partial^{2} f \over \partial z^{2}})
  • 구면좌표계 (r, \theta, \phi )
    • r : 원점부터의 거리
    • \theta : xy 평면상에서 x축에서 y축으로 돌아간 각도 (0 \leq \theta < 2 \pi )
    • \phi : z축과 r사이의 각도 (z축에서 xy평면으로 내려오는 각도 (0 \leq \phi < \pi )
  • 좌표 변환
    • x = r \sin \phi \cos \theta
    • y = r \sin \phi \sin \theta
    • z = r \cos \phi
    • r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}
    • \theta = \arctan {y \over x}
    • \phi = \arctan {\sqrt{x^{2} + y^{2}} \over z}
  • 단위벡터 변환
    • \hat{r} = \sin \phi \cos \theta \hat{x} + \sin \phi \sin \theta \hat{y} + \cos \phi \hat{z}
    • \hat{\theta} = - \sin \theta \hat{x} + \cos \theta \hat{y}
    • \phi = \hat{\theta} \times \hat{r} = \cos \theta \cos \phi \hat{x} + \sin \theta \cos \phi \hat{y} + \sin \phi \hat{z}
    • \hat{x} = \cos \theta \sin \phi \hat{r} - \sin \theta \hat{\theta} + \cos \theta \cos \phi \hat{\phi}
    • \hat{y} =  \sin \theta \sin \phi \hat{r} + \cos \theta \hat{\theta} + \sin \theta \cos \phi \hat{\phi}
    • \hat{z} = \cos \phi \hat{r} - \sin \phi \hat{\phi}
  • 미소량 표현
    • dx, dy, dz \leftrightarrow dr, d\theta, d\phi
    • dx \wedge dy \wedge dz = r^{2} \sin \phi dr \wedge d\theta \wedge d\phi = dv
    • d\vec{l} = dr\hat{r} + r \sin \phi d\theta \hat{\theta} + r d\phi \hat{\phi}
    • {\partial f \over \partial x} = \cos \theta \sin \phi {\partial f \over \partial r} - {\sin \theta \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} + {\cos \theta \cos \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}
    • {\partial f \over \partial y} = \sin \theta \sin \phi {\partial f \over \partial r} - {\cos \theta \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} + {\sin \theta \cos \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}
    • {\partial f \over \partial z} = \cos \phi {\partial f \over \partial r} - {\sin \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}
  • \nabla f, \nabla \cdot \vec{F}, \nabla \times \vec{F}, \nabla^{2} f 를 구면좌표계 표현법으로 고치기
    • \nabla f = {\partial f \over \partial r} \hat{r} + {1 \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} \hat{\theta} + {1 \over r} {\partial f \over \partial \phi} \hat{\phi}
    • \nabla \cdot \vec{F} = div(F_{r}\hat{r} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{\phi}\hat{\phi})
      • = {1 \over r^{2}} {\partial \over \partial r} (r^{2} F_{r}) + {1 \over r \sin \phi} {\partial F_{\theta} \over \partial \theta} + {1 \over r \sin \phi} {\partial \over \partial \phi} (\sin \phi F_{\phi})
    • \nabla \times \vec{F} = curl(F_{r}\hat{r} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{\phi}\hat{\phi})
      • = {1 \over r \sin \phi} ({\partial \over \partial \phi} (\sin \phi F_{\theta}) - {\partial F_{\theta} \over \partial \theta}) \hat{r} + {1 \over r} ({\partial \over \partial r} (r F_{\phi}) - {\partial F_{r} \over \partial \phi}) \hat{\theta} + {1 \over r} ({1 \over \sin \phi} {\partial F_{r} \over \partial \theta} - {\partial \over \partial r} (r F_{\theta})) \hat{\phi}
    • \nabla^{2} f = div(\nabla f)
      • = {1 \over r^{2}} {\partial \over \partial r} (r^{2} {\partial f \over \partial r}) + {1 \over r^{2} \sin^{2} \phi} {\partial^{2} f \over \partial \theta^{2}} + {1 \over r^{2} \sin \phi} {\partial \over \partial \phi}(\sin \phi {\partial f \over \partial \phi})
  • 좌표계와 무관한 div, curl의 정의
    • div \vec{F} = \lim_{v \to 0} {1 \over v} \int_{\partial v} \vec{F} \cdot d\vec{A}
    • curl \vec{F} = \lim_{v \to 0} {1 \over v} \int_{\partial v} \vec{F} \times d\vec{A}
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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