데코수학/ 헬름홀츠 분해정리

개념

  • \vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : 커얼로 써지는 벡터장
    • \Leftrightarrow \exists \vec{A} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}, \vec{F} = \nabla \times \vec{A}
    • 이때 \vec{A} 를 벡터포텐셜이라 부른다.
  • \vec{F} : 커얼로 써지는 벡터장 \Rightarrow \vec{F} : 발산하지 않음
    • \vec{F} = \nabla \times \vec{A} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{F} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0
  • 헬름홀츠 분해정리 (벡터미적분학의 기본 정리)
    • \vec{F} : \Omega (\subseteq \mathbb{R}^{3}, 유계 ) \to \mathbb{R}^{3} : C^{2} \Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}
      • \vec{G} : 보존적 벡터장
      • \vec{H} : 커얼로 써지는 벡터장
  • 헬름홀츠 분해정리 (정의역이 \mathbb{R}^{3}, 전체인 버전)
    • \vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0
      • \Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}
  • 헬름홀츠 분해정리의 따름 정리
    • \vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0 인 경우
      • \nabla \times \vec{F} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{F} = - \nabla \Phi
      • \nabla \cdot \vec{F} = 0 \Leftrightarrow \vec{F} = \nabla \times \vec{A}

[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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