데코수학/ 행렬 – 1

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개념

  • 행렬의 정의
    • 행렬이란 벡터공간 위에 있는 선형 함수
    • 행렬이란 숫자들의 2차원 배열
    • i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, a_{ij} \in \mathbb{F} 일 때
      • A = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1}  & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right) 를 \mathbb{F} 위의 m \times n 행렬이라 한다.
  • 행렬 표기법
    • A = a_{ij}
    • M_{m, n}(\mathbb{F}) : \mathbb{F} 위의 모든 m \times n 행렬의 집합
    • [A]_{i} : A의 i번째 행 (1 \times n 벡터)
    • [A]^{j} : A의 j번째 열 (m \times 1 벡터)
  • A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb{F}) 일 때
    • A = B \Leftrightarrow \forall_{i,j}, a_{ij} = b_{ij}
    • A + B := (a_{ij} + b_{ij})
    • c A := (c \cdot a_{ij})
  • A = (a_{ij}) \in M_{m, n}, B = (b_{ij}) \in M_{n, l} 일 때
    • AB := (\sum_{x=1}^{n} a_{ix} b_{xj}) \in M_{m, l}
      • ab_{ij} = [A]_{i} \cdot [B]^{j}
  • 0_{m, n} = (0)
  • I_{n} = (\delta_{ij})
    • \delta_{ij} \Rightarrow 1 (i = j), 0 (i \neq j) 
  • A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)
    • \Rightarrow A^{2} - (a + d) A + (ad -bc) I = 0

행렬식

  • A, B 행렬, r, s \in \mathbb{F}
    • A + B = B + A
    • A + (B + C) = (A + B) + C
    • A + 0 = A
    • A + (-A) = 0
    • (r + s)A = rA + sA
    • r(A + B) = rA + rB
    • r(sA) = (rs)A
    • (AB)C = A(BC)
    • AI = IA = A
    • (A + B)C = AC + BC
    • r(A)B = r(AB) = A(rB)
    • A^{n} := A \cdot A^{n-1}
    • A^{0} = I
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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