데코수학/ 행렬 – 2

 

개념

  • 전치행렬
    • A = (a_{ij}) 일 때,
      • A^{T} = (a_{ji})
  • 대각합
    • A = (a_{ij}) \in m_{n, n} 일 때,
      • tr(A) = \sum_{x=1}^{n} a_{xx}
  • 가역행렬
    • 가역행렬이란 역행렬을 가지는 행렬
    • A : 가역 
      • \Leftrightarrow \exists B, BA = AB = I
      • 이때 B를 A의 역행렬이라 부른다.
  • 역행렬
    • A 의 역행렬은 A^{-1} 로 표기
    • A 의 역행렬은 유일하다.
    • A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d  \end{array} \right) 일 때,
      • A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a  \end{array} \right)
  • 가역행렬과 역행렬은 정사각행렬에서만 정의 가능.
  • AB = 0 이어도 BA = 0 이 안 될 수 있다.
    • A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0  \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0  \end{array} \right) 일 때 성립 안 함.
  • O(n) = \{ A \in M_{n, n}(\mathbb{R}) | A^{-1} = A^{T} \} 일 때, (역행렬과 전치행렬이 같은 행렬들의 집합. 직교행렬이라고도 한다)
    • I_{n} = O(n)
    • A, B \in O(n) \Rightarrow AB \in O(n)
    • A \in O(n) \Rightarrow A^{-1} \in O(n)
    • A \in O(n) \Rightarrow A^{T} \in O(n)

행렬식

  • (A^{T})^{T} = A
  • (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}
  • (cA)^{T} = cA^{T}
  • (AB)^{T} = B^{T}A^{T}
  • tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(cA) = c \cdot tr(A)
  • tr(A^{T}) = tr(A)
  • tr(AB) = tr(BA)
  • I^{-1} = I
  • (cA)^{-1} = {1 \over c} A^{-1}
  • (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • (A^{-1})^{-1} = A
  • (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}
  • (A^{-1})^{n} = (A^{n})^{-1}
  • (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n}
    • 위 3가지 경우에 의해 n(거듭제곱), -1(역행렬), T(전치행렬)은 순서를 바꿔도 무방하다.
[ssba]

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지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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