데코수학/ 연립 1차 방정식 푸는법

개념

  • 연립 1차 방정식
    • 다음과 같은 방정식에 대하여
    • a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... +  a_{1n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... +  a_{2n} x_{n} = b_{2} \\ ... \\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + ... +  a_{mn} x_{n} = b_{m}
    • X = \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}  \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m}  \end{array} \right) 이라 두면
    • 방정식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
    • \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m}  \end{array} \right)
    • 즉, 방정식을 AX = B 형태로 쓸 수 있다.
    • 이때 B = 0 이면 homogeneous라 하고, B \neq 0 이면 non-homogeneous라 한다.
  • 연립 방정식과 행렬
    • 연립 방정식에 다음 행위를 유한번 해도 해는 바뀌지 않는다.
      1. 두 식의 순서 바꾸기
      2. i번째 식에 0이 아닌 스칼라 곱하기
      3. i번째 식에 j번째 식 더하기
    • 위 과정으로 방정식을 간단한 형태로 바꾸면 된다.
    • 위 방법을 AX = B 에 대한 행렬의 언어로 쓰면 다음과 같다.
    • 행렬 (A|B) 에 다음 행위를 유한번 해도 X 는 바뀌지 않는다.
      1. 두 행의 순서 바꾸기
      2. i번째 행에 0이 아닌 스칼라 곱하기
      3. i번째 행에 j번째 행 더하기
    • 위 과정으로 (A|B) 를 ‘간단한 형태’로 만들면 된다.
    • (A|B) A B 를 이어붙여 만든 행렬을 말한다. (argumented matrix)
    • 위 1, 2, 3의 과정을 기본행 연산이라 부르고, A가 기본행연산으로 B가 된다면 A \sim_{R}B 라 쓰고 행동치라 부른다.
    • ‘간단한 형태’란 RRE form을 말한다.
  • A : Row Echelon form
    1. 모든 성분이 0인 행은 아래에 위치한다.
    2. 0이 아닌 성분이 있는 행에 대하여 가장 앞에 있는 것을 pivot 이라 부를 때, pivot이 더 앞에 있는 행일 수록 더 위에 위치한다.
  • A : Reduced Row Echelon form
    1. A: Row Echelon form
    2. pivot 들이 전부 1이고, pivot이 있는 열은 piovt 외엔 전부 0이다.
  • 모든 행렬은 유한번의 기본행연산으로 RRE form으로 만들 수 있고 유일하다.
    • 그렇게 변환시킨 RRE form으로 연립방정식을 쉽게 풀 수 있다.
  • 연립일차방정식 AX = 0 의 해 X_{1}, X_{2} 에 대하여 cX, X_{1} + X_{2} 도 해가 될 수 있다.
    • 이를 선형성이라 한다.
  • 연립일차방정식 AX = 0 에서 A m \times n (n > m) 행렬이면, 자명하지 않은 해를 가진다.
  • 기본행연산을 행렬곱으로 정의
    • A의 i번째 행과 j번째 행을 바꾸기
      • \Leftrightarrow I_{[i] \leftrightarrow [j]} \cdot A
    • A의 i번째 행에 0이 아닌 스칼라 C 곱하기
      • \Leftrightarrow I_{c [i]} \cdot A
    • A의 i번째 행에 j번째 행 더하기
      • \Leftrightarrow I_{[i] \leftarrow + [j]} \cdot A
    • 단위행렬에 적절한 변환을 준 후 행렬에 곱하면 기본행 연산이 된다. 위와 같이 변환된 단위행렬을 기본행렬이라 한다.
  • 기본행렬은 가역이고, 역행렬들도 기본행렬이다.
  • 가역인 RRE from은 I 뿐이다.
  • A : 가역
    • \Leftrightarrow A \sim_{R} I
    • \Leftrightarrow A = E_{1} E_{2} ... E_{k} (\exists E_{i} : 기본행렬)
    • \Leftrightarrow AX = 0 의 자명해는 X = 0 뿐이다.
    • \Leftrightarrow AX = B 는 유일해를 가진다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.