데코수학/ 벡터 공간

개념

  • (V, +, \cdot) : 스칼라 \mathbb{F} 에 대한 벡터 공간 (+ : V \times V \to V, \cdot : \mathbb{F}\times V \to V )
    • \Leftrightarrow
      • \forall u, v \in V, u + v = v + u
      • \forall u, v, w \in V, u + (v + w) = (u + v) + w
      • \exists \vec{0} \in V, \forall \in V, u + \vec{0} = \vec{0} + u
      • \forall u \in V, \exists (-u) \in V, u + (-u) = (-u) + u = \vec{0}
      • \forall u \in V, 1 \cdot u = u
      • \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, \alpha \cdot (\beta \cdot u) = (\alpha \cdot \beta) \cdot u
      • \forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall u, v \in V, \alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v
      • \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, (\alpha + \beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u
    • 용어
      • \mathbb{F} 의 원소는 스칼라
      • V 의 원소는 벡터
      • + 는 벡터합
      • \cdot 는 스칼라곱
      • (V, +, \cdot) \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
  • 벡터공간의 예
    • (\mathbb{F}^{n}, +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 스칼라의 카테시안도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (M_{m \times n}(\mathbb{F}), +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 행렬도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (\mathbb{F}^{S}, +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 함수들도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (\mathbb{F}^{\mathbb{N}}, +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 수열공간도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • 미지수 x 에 대하여, \mathbb{F}[x] = \{a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} | n \in \mathbb{N}, a_{i} \in \mathbb{F} \} \ , +' 는 다항식의 덧셈, \cdot ' 는 다항식에 스칼라곱이라 같이 정의하면
      • (\mathbb{F}[x], +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
    • V 를 “합동이면 같은 것으로 보는 유향 선분의 집합”, +' 는 “평행사변형식 덧셈”, 
    • \cdot ' 는 “길이만 스칼라배 늘리기”로 정의하면
      • (V, +', \cdot ') : \mathbb{R} 에 대한 벡터공간
  • 벡터공간이라면 다음이 성립한다.
    • \forall u, v, w \in V, u + w = v + w \Leftrightarrow u = v
    • \vec{0} 는 유일하다.
    • u 마다, (-u) 가 유일하다.
    • 0 u = \vec{0}
    • (- \alpha) u = \alpha (-u)
    • \alpha \vec{0} = \vec{0}
    • \alpha u = \vec{0} \Rightarrow \alpha = 0 \lor u = \vec{0}
    • \alpha x = \beta x (x \neq \vec{0}) \Rightarrow \alpha = \beta
    • \alpha x = \alpha y (\alpha \neq 0) \Rightarrow x = y
  • 벡터공간으로써 구조가 같다.
    • (V, +_{1}, \cdot_{1}), (W, +_{2}, \cdot_{2}) : Vector-space Isomorphic (over \mathbb{F} )
    • \Leftrightarrow
      • \exists \phi : V \to W : 전단사,
        • \phi (a +_{1} b) = \phi (a) +_{2} \phi (b)  
        • \phi(\alpha \cdot_{1} a) = \alpha \cdot_{2} \phi (a)  
    • 이때 \phi 를 VS isomorphism 이라 부른다.
      • \phi : V \approx W
    • \mathbb{F} \approx \mathbb{F}^{1} \approx M_{1 \times 1} (\mathbb{F})
    • \mathbb{F}^{n} \approx M_{n \times 1} (\mathbb{F}) \approx M_{1 \times n} (\mathbb{F})
[ssba]

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지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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