데코수학/ 부분벡터공간

개념

  • (V, +', \cdot ') : V.S over \mathbb{F} 일때, (W, +', \cdot ') : sub V.S of (V, +', \cdot ') (V.S = Vector Space)
    • \Leftrightarrow
      • W \subseteq V
      • +', \cdot ' W 위에서 그대로 잘 정의되어,  (W, +', \cdot ') : V.S over \mathbb{F}
  • Sub V.S 예시
    • \mathbb{Q}^{n} (over \mathbb{Q} ) : sub V.S of \mathbb{R}^{n} (over \mathbb{Q} )
    • V : sub V.S of V
    • \{ \vec{0}_{V} \} : sub V.S of V
    •  
  • W : sub V.S of V
    • \Leftrightarrow
      • \vec{0}_{V} \in W
      • a, b \in W \Rightarrow a + b \in W
      • \alpha \in \mathbb{F}, a \in W \Rightarrow \alpha \cdot a \in W
  • Sub V.S 특징
    • W : sub V.S of V , U : sub V.S of W \Rightarrow U : sub V.S of V
    • W_{\alpha} : sub V.S of V  \Rightarrow \cap W_{\alpha} : sub V.S of V
    • W_{1}, W_{2} : sub V.S of V 
      • \Rightarrow
        • W_{1} \cup W_{2} : sub V.S of V  \Leftrightarrow W_{1} \subseteq W_{2} \lor W_{2} \subseteq W_{1}
    • W_{1}, W_{2} : sub V.S of V 
      • \Rightarrow
        • W_{1} + W_{2} : sub V.S of V
        • W_{1}, W_{2} : sub V.S of W_{1} + W_{2}
        • U : sub V.S of V, W_{1} \subseteq U, W_{2} \subseteq U \Rightarrow W_{1} + W_{2} \subseteq U
    • W : sub V.S of V
      • \Leftrightarrow
        • W \neq \emptyset (c \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow c \cdot a \in W, a + b \in W)
        • 0_{v} \in W (\alpha \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow \alpha \cdot a + b \in W)
  • (V_{1}, +_{1}, \cdot_{1}), (V_{2}, +_{2}, \cdot_{2}) : V.S over \mathbb{F} 일때, 곱집합 
  • 벡터 공간의 External Direct Sum
    • V_{1} \times V_{2} = \{ (a, b) | a \in V_{1}, b \in V_{2}  \} 에 다음 연산을 정의한다.
      • (a, b) +_{E} (c, d) = (a +_{1} c, b +_{2} d)
      • \alpha \cdot_{E} (a, b) = (\alpha \cdot_{1} a, \alpha \cdot_{2} b)
    • 그러면 (V_{1} \times V_{2}, +_{E}, \cdot_{E}) 는 V.S over \mathbb{F} 가 된다.
    • 이 벡터공간을 V_{1} \oplus_{E} V_{2} 이라 한다.
  • 벡터 공간의 Internal Direct Sum
    • (Z, +, \cdot) : V.S over \mathbb{F} , (X, +, \cdot), (Y, +, \cdot) : sub V.S of (Z, +, \cdot) 일 때
      • Z = X \oplus_{I} Y
        • \Leftrightarrow
          • \forall z \in Z, \exists x \in X, y \in Y, z = x + y
          • X \cap Y = {\vec{0}}
  • (Z = X \oplus_{I} Y) \approx X \oplus_{E} Y
    • External, Internal Direct Sum이 Isomorphic 하기 때문에 특별히 구분 하지 않고 X \oplus Y 라 쓴다.
  • 벡터 공간의 Direct Sum의 예
    • \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \approx \mathbb{R}^{2}
      • \{ (a, 0) | a \in  \mathbb{F} \} \oplus \{ (0, b) | b \in  \mathbb{F} \} \approx \mathbb{F}^{2}
    • \mathbb{F} \oplus (\mathbb{F} \oplus \mathbb{F}) \approx \mathbb{F}^{3}
    • \mathbb{F}^{2} \oplus \mathbb{F}^{3}  \approx \mathbb{F}^{5}
    • \mathbb{R} \oplus_{I} \mathbb{R}_{i} = \mathbb{C} \approx \mathbb{R} \oplus_{E} \mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}
  • Direct Sum of Many V.S 에 대해서도 정의 가능. 유한한 경우와 무한한 경우 정의가 다른데 생략.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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