이상엽/ 집합의 확장

  • (용어 정리 생략)

집합족

집합족(Family)이란?

  • 집합족
    • 집합을 원소로 갖는 집합 (ex 멱집합)
    • 집합족은 F로 표기
  • 첨수족
    • 첨수(번호)가 부여된 대상들로 이루어진 집합. 집합족의 표현을 간단하게 하기 위해 만든 개념.
    • 첨수족은 I로 표기
  • ex) 집합 A = \{ 1, 2 \} 에 대하여
    • 멱집합은 P(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} 가 되고, 이를 집합족 F라 정의
    • 집합족 F에 속하는 각각의 집합에 Index를 붙여서 표현하면
    • F = \{ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} \} = \{ A_{i} | i \in I \} 가 되고 여기의 I를 첨수족이라 부른다.

집합족의 연산

  • \cup F = \cup_{A \in F} A = A_{1} \cup A_{2} \cup ... = \{ x | \exists A \in F, x \in A \}
  • \cap F = \cap_{A \in F} A = A_{1} \cap A_{2} \cap ... = \{ x | \forall A \in F, x \in A \}
  • ex) 집합족 F = \{ \{ 1, 2, 3 \}, \{ 2, 3, 4 \}, \{ 3, 4, 5 \} \} 에 대하여
    • \cup F = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}
    • \cap F = \{ 3 \}
    • 위 집합족을 첨수집합으로 표기하면 F = \{ A_{1}, A_{2}, A_{3} \} 가 되고, 합집합과 교집합은 다음과 같이 표기 가능하다.
      • \cup_{i=1}^{3} A_{i} = \cup_{i \in I} A_{i}
      • \cap_{i=1}^{3} A_{i} = \cap_{i \in I} A_{i}
  • quiz) 만일 첨수족 I에 대하여 I = \emptyset 이라면
    • \cup_{i \in I} A_{i} = \emptyset
    • \cap_{i \in I} A_{i} = U
    • 첨수집합 I의 합집합은 공집합이 되지만, 교집합은 전체집합이 된다.

드모르간 법칙

  • (\cup_{A \in F} A) = \cap_{A \in F} A^{c}
  • (\cap_{A \in F} A) = \cup_{A \in F} A^{c}

분배법칙

  • A \cap (\cup_{B \in F} B) = \cup_{B \in F} (A \cap B)
  • A \cup (\cap_{B \in F} B) = \cap_{B \in F} (A \cup B)

곱집합

곱집합이란?

  • 순서쌍은 순서가 중요한 반면, 집합은 순서가 중요하지 않다. 순서쌍을 집합에 적용하기 위해 다음과 같이 정의한다.
  •  순서쌍
    • (a, b) = \{ \{a\}, \{a, b\}\}
    • ex) (1, 2) 라는 순서쌍을 집합으로 표현하면 다음과 같다.
      • \{ \{1\}, \{1, 2\}\}
      • 집합 자체에는 순서가 없기 때문에 위의 결과는 다음과도 동일하다.
      • \{ \{1\}, \{1, 2\}\} = \{ \{1\}, \{2, 1\}\} = \{ \{2, 1\}, \{1\} \} = ...
      • 역으로 { {2, 3}, {3} } 이라는 집합은 (3, 2)와 대응되는데, 기본 원칙은 겹치는 것이 먼저 나오고, 그렇지 않은 것이 나중에 나오는 식으로 표기한다.
  • 곱집합
    • A \times B = \{ (x, y) | x \in A \wedge y \in B \}
      • ex) A = { 1, 2 }, B = { 3, 4 } 일 때, 순서쌍의 곱은 다음과 같다.
        • A \times B = \{ (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) \}
        • A \times A \times A = \{ (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) \}

곱집합의 연산

  • A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset
  • A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
  • A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
  • A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

집합족의 공집합

  • 임의의 집합족 F가 첨수집합 I에 의해 첨수화된 첨수족 \{ A_{i} | i \in I \} 의 곱집합 \Pi A_{i} 는 다음과 같다.
    • \Pi A_{i} = A_{1} \times A_{2} \times ... = \{ (a_{i})_{i \in I} | \forall i \in I, a_{i} \in A_{i} \}
[ssba]

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지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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