OpenCV 4로 배우는 컴퓨터 비전과 머신 러닝/ 필터링

영상의 필터링

필터링 연산 방법

  • 영상 처리에서 필터링(filtering)이란 영상에서 원하는 정보만 통과시키고 원치 않는 정보는 걸러 내는 작업.
    • 잡음(noise)를 걸러 내어 영상을 깔금하게 만드는 필터가 있고, 부드러운 느낌의 성분을 제거함으로써 날카로운 느낌이 나도록 할 수도 있다.
  • 영상의 필터링은 보통 마스크(mask)라고 부르는 작은 크기의 행렬을 이용한다.
    • 마스크는 필터링의 성격을 정의하는 행렬이며 커널(kernel), 윈도우(window)라고도 부르며 경우에 따라 마스크 자체를 필터라고 하기도 한다.
  • 마스크는 다양한 크기와 모양으로 정의할 수 있으며, 마스크 행렬의 원소는 보통 실수로 구성된다.
    • 여러 모양의 필터 마스크 중에 3 x 3 정방형 행렬이 다양한 필터링 연산에서 가장 널리 사용된다.
    • 위 그림에서 필터 마스크의 가운데 위치한 진한 색을 고정점(anchor point)라고 하는데, 고정점은 현재 필터링 작업을 수행하고 있는 기준 픽셀 위치를 나타낸다. 대부분의 경우 마스크 행렬의 정중앙을 고정점으로 사용한다.

  • 필터링 연산의 결과는 마스크 행렬의 모양과 원소 값에 의해 결정된다. 
    • 즉, 마스크 행렬을 어떻게 정의하는가에 따라 영상을 부드럽게도, 날카롭게도 할 수 있다.
    • 또는 영상에서 잡음을 제거하거나 에지(edge) 성분만 나타나도록 할 수도 있다.
  • 아래 그림은 3 x 3 정방형 마스크를 이용한 필터링 수행 방법이다.
    • 아래 그림에서 m은 마스크 행렬을 나타내고, f와 g는 각각 입력 영상과 출력 영상을 의미한다.
    • 이 그림에서 마스크 행렬 크기가 3 x 3이므로 고정점의 좌표는 중심 좌표인 (1, 1)로 설정했다.
  • 마스크를 이용한 필터링은 입력 영상의 모든 픽셀 위로 마스크 행렬을 이동시키면서 마스크 연산을 수행하는 방식으로 이루어진다.

  • 마스크 연산이란 마스크 행렬의 모든 원소에 대하여 마스크 행렬 원소 값과 같은 위치에 있는 입력 영상 픽셀 값을 서로 곱한 후, 그 결과를 모두 더하는 연산이다.
    • 그리고 마스크 연산의 결과를 출력 영상에서 고정점 위치에 대응되는 픽셀 값으로 설정한다.
    • 그러므로 마스크 행렬 m의 중심이 입력 영상의 (x, y) 좌표 위에 위치했을 때 필터링 결과 영상의 픽셀 값 g(x, y)는 다음과 같이 계산된다.

g(x, y) = m(0, 0) f(x-1, y-1) \\ + m(1, 0) f(x, y-1) \\ + m(2, 0) f(x+1, y-1) \\ + m(0, 1) f(x-1, y) \\ + m(1, 1) f(x, y) \\ + m(2, 1) f(x+1, y) \\ + m(0, 2) f(x-1, y+1) \\ + m(1, 2) f(x, y+1) \\ + m(2, 2) f(x+1, y+1)

  • (x, y) 좌표에서 마스크 연산을 통해 결과 영상의 픽셀 값 g(x, y)를 구했으면, 다음에는 마스크를 한 픽셀 옆으로 이동하여 (x+1, y) 좌표에 다시 마스크 연산을 수행하고 그 결과를 g(x+1, y)에 저장한다. 이 과정을 영상 전체 픽셀에 대해 수행하면 필터링이 완료 된다.
  • 그런데 영상의 가장 바깥쪽 픽셀에서는 (x, y) 자리에 영상에 존재하지 않는 좌표가 들어오게 된다.
    • 이 식은 계산할 수 없기 때문에 영상의 가장자리 픽셀에 대해 필터링을 수행할 때는 특별한 처리를 해야 한다.
  • OpenCV에서는 영상의 필터링을 수행할 때 영상의 가장자리 픽셀을 확장하여 영상 바깥쪽에 가상의 픽셀을 만든다.
    • 이때 바깥쪽 가상의 픽셀 값을 어떻게 설정하는가에 따라 필터링 연산 결과가 달라진다.
  • 아래 이미지는 5 x 5 크기의 필터 마스크를 적용하는 예시로서, 노란색으로 표시된 실제 존재하는 영상에 대해 가상의 픽셀을 구성하여 분홍색 픽셀을 만든 이미지이다.
    • 분홍색 픽셀의 영문자는 실제 픽셀의 영문자와 동일한 위치의 픽셀값을 나타낸다.
    • 아래 이미지는 실제 영상의 픽셀 값이 대칭 형태로 나타나도록 설정되어 있는 모습이다.

  • 대부분의 OpenCV 필터링 함수는 위와 같은 방식으로 가장자리 픽셀을 확장하지만 다른 방식으로 가상의 픽셀 값을 설정할 수도 있다.
    • 이에 대한 내용은 아래 표 참조

  • OpenCV에서 필터 마스크를 사용하는 일반적인 필터링은 filter2D() 함수를 이용하여 수행한다.
    • filter2D() 함수는 src 영상에 kernel 필터를 이용하여 필터링을 수행하고, 그 결과를 dst에 저장한다.
    • 만약 src 인자와 dst 인자에 같은 변수를 지정하면 필터링 결과를 입력 영상에 덮어쓰게 된다.
    • filter2D() 함수가 수행하는 연산을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

dst(x, y) = \sum_{j} \sum_{i} kernel(i, j) \cdot src(x+i-anchor.x, y+j-anchor.y) + delta

  • filter2D() 함수 인자 중에서 ddepth는 결과 영상의 깊이를 지정하는 용도로 사용하며, 입력 영상 깊이에 따라 지정할 수 있는 ddepth 값은 아래 표와 같다.
    • 만약 ddepth에 -1을 지정하면 출력 영상의 깊이는 입력 영상과 같게 설정된다.
입력 영상의 깊이(src.depth()) 지정 가능한 ddepth값
CV_8U -1/ CV_16S/ CV_32F/ CV_64F
CV_16U/CV_16S -1/ CV_32F/ CV_64F
CV_32F -1/ CV_32F/ CV_64F
CV_64F -1/ CV_64F

 

  • Note)
    • 3 x 3 필터 마스크를 이용하여 입력 영상 src와 필터링을 수행하는 수식을 쓰면 다음과 같다.

dst(x, y) = \sum_{j=0}^{2} \sum_{i=0}^{2} m(i, j) \cdot src(x+i-1, y+j-1)

  • 앞 수식은 입력 영상 (x, y) 좌표에 마스크 행렬을 올려놓고, 같은 위치에 있는 마스크 행렬 원소와 입력 영상 픽셀 값을 모두 곱한 후 더하는 연산이다.
    • 이처럼 두 개의 신호가 있을 때 같은 위치에 있는 신호 값을 모두 곱한 후 다시 더하는 연산을 신호 처리 분야에서 코릴레이션(correlation) 또는 상관이라고 한다.
    • 신호 처리에서 코릴레이션은 두 신호의 유사성을 판단하는 기준으로 사용되기도 한다.
  • 두 개의 연속 신호 f와 g가 있을 때 두 신호의 코릴레이션을 구하는 수식은 다음과 간다.

(f \otimes g)(t) \int_{a}^{b} f^{*}(\tau)g(t+\tau)d\tau

  • 그런데 영상 필터링을 신호 처리의 컨볼루션(convolution) 연산이라고 말하는 경우가 많다. 컨볼루션은 회선 또는 합성곱이라고도 하며, 두 신호의 컨볼루션은 다음 수식으로 정의된다.

(f * g)(t) \int_{a}^{b} f(\tau)g(t-\tau)d\tau

  • 컨볼루션은 두 입력 신호 중 하나를 원점 기준 대칭 변환한 후 코릴레이션을 구하는 것과 같다.
    • 그러므로 2차원 마스크 행렬과 입력 영상의 컨볼루션 연산을 정확하게 수행하려면 마스크 행렬을 상하 및 좌우 대칭으로 변환한 후 필터링 연산을 수행해야 한다.
    • 그러나 필터 마스크가 상하 및 좌우 대칭으로 구성되어 있는 경우에는 코릴레이션과 컨볼루션의 결과는 서로 같다.
    • 영상 처리에서 널리 사용되고 있는 많은 필터 마스크가 상하 및 좌우 대칭으로 구성되어 있기 때문에 관용적으로 필터링 연산을 컨볼루션 연산이라고 부르고 있다.

엠보싱 필터링

  • 엠보싱이랑 직물이나 종이, 금속판 등에 올록볼록한 형태로 만든 객체의 윤곽 또는 무늬를 뜻하며, 엠보싱 필터는 입력 영상을 엠보싱 느낌이 나도록 변환하는 필터이다.
    • 보통 입력 영상에서 픽셀 값 변화가 적은 평탄한 영역은 회색으로 설정하고, 객체의 경계 부분은 좀 더 밝거나 어둡게 설정하면 엠보싱 느낌이 난다.
  • 아래 이미지는 간단한 형태의 엠보싱 필터 마스크의 예이다.
    • 필터 마스크는 대각선 방향으로 +1 또는 -1의 값이 지정되어 있는 3 x 3 행렬이다.
    • 이 필터 마스크를 사용하여 필터링을 수행하면 대각선 방향으로 픽셀 값이 급격하게 변하는 부분에서 결과 영상 픽셀 값이 0보다 훨씬 크거나 0보다 훨씬 작은 값을 가지게 된다.
    • 입력 영상에서 픽셀 값이 크게 바뀌지 않는 평탄한 영역에서는 결과 영상의 픽셀 값이 0에 가까운 값을 갖게 된다.
    • 이렇게 구한 영상을 그대로 화면에 나타내면 음수 값이 포화 연산에 의해 0이 되어 버리기 때문에 결과 영상에 18을 더하는 것이 보기에 좋다.

블러링

  • 블러링(blurring)은 초점이 맞지 않는 사진처럼 영상을 부드럽게 만드는 필터링 기법으로 스무딩(smoothing)이라고도 한다.
    • 영상에서 인접한 픽셀 간의 픽셀 값 변화가 크지 않은 경우 부드러운 느낌을 받을 수 있다.
    • 블러링은 거친 느낌의 입력 영상을 부드럽게 만드는 용도로 사용되기도 하고, 입력 영상에 존재하는 잡음의 영향을 제거하는 전처리 과정으로도 사용된다.

평균값 필터

  • 평균값 필터(mean filter)는 입력 영상에서 특정 픽셀과 주변 픽셀들의 산술 평균을 결과 영상 픽셀 값으로 설정하는 필터이다.
    • 평균값 필터에 의해 생성되는 결과 영상은 픽셀 값의 급격한 변화가 줄어들어 날카로운 에지가 무뎌지고 잡음의 영향이 크게 사라지는 효과가 있다.
    • 그러나 평균값 필터를 과도하게 사용하면 사물의 경계가 흐릿해지고 사물의 구분이 어려워질 수 있다.
  • 아래 이미지는 다양한 크기의 평균값 필터 마스크를 나타낸 것이다.
    • 각각의 행렬은 모두 원소가 1로 설저외더 있고 행렬의 전체 원소 개수로 각 행렬 원소 값을 나누는 형태로 표현되어 있다.
    • 결국 3 x 3 평균값 필터 마스크는 모든 원소가 1/9로 설정된 행렬이고, 5 x 5 평균값 필터는 모든 원소가 1/25로 구성된 행렬이다.
    • 평균값 필터는 마스크의 크기가 커질 수록 부드러운 느낌의 영상을 생성하지만, 연산량이 크게 증가할 수 있다.

  • OpenCV에서는 blur() 함수를 이용하여 평균값 필터링을 수행할 수 있다.
    • blur() 함수는 src 영상에 ksize 크기의 평균값 필터 마스크를 사용하여 dst 출력 영상을 생성한다.
    • blur() 함수에서 사용하는 커널은 다음과 같은 형태를 갖고 있다.

kernel = { 1 \over ksize.width \times ksize.height } \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & ... & 1 \end{array} \right]

  • Note)
    • 일반적으로 필터 마스크 행렬은 모든 원소 합이 1 또는 0이 되도록 설계한다. 필터 마스크 행렬의 원소 합이 1이면 필터링 결과와 영상의 평균 밝기가 입력 영상 평균 밝기와 같에 유지되기 때문이다.
    • 만일 필터 마스크 행렬 원소의 합이 1보다 작으면 입력 영상보다 어두운 영상이 되고, 1보다 크면 밝은 결과 영상이 만들어진다.

가우시안 필터

  • 가우시안 필터(Gaussian filter)는 가우시안 분포(Gaussian distribution) 함수를 근사하여 생성한 필터 마스크를 사용하는 필터링 기법이다.
  • 가우시안 분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭의 종 모양(bell shape)을 갖는 확률 분포를 말하며 정규 분포(normal distribution)라고도 한다.
  • 가우시안 분포는 평균과 표준 편차에 따라 분포 모양이 결정된다. 다만 영상의 가우시안 필터에서는 주로 평균이 0인 가우시안 분포 함수를 사용한다.
    • 평균이 0이고 표준 편차가 \sigma 인 1차원 가우시안 분포를 함수식으로 나타내면 다음과 같다.

G_{\sigma}(x) = {1 \over \sqrt{2 \pi \sigma}} e^{- {x^{2} \over 2 \sigma^{2}}}

  • 평균이 0이고 표준 편차 \sigma 가 각각 0.5, 1.0, 2.0인 가우시안 분포 그래프를 그리면 아래와 같다.
    • 세 개의 그래프가 모두 평균이 0이므로 x=0에서 최댓값을 가지며, x가 0에서 멀어질수록 함수 값이 감수한다.
    • \sigma 가 작으면 그래프가 뾰족한 형태가 되고, \sigma 가 크면 그래프가 넓게 퍼지면서 완만한 형태를 따른다.
    • 가우시안 분포 함수값은 특정 x가 발생할 수 있는 확률의 개념을 가지며, 그래프 면적을 합하면 1이 된다.

  • 가우시안 분포를 따르는 2차원 필터 마스크 행렬을 생성하려면 2차원 가우시안 분포 함수를 근사해야 한다.
    • 2차원 가우시안 분포 함수는 x와 y 두 개의 변수를 사용하고, 분포의 모양을 결정하는 평균과 표준 편차도 x축과 y축 방향에 따라 따로 설정한다.
    • 평균이 (0, 0)이고 x축과 y축 방향의 표준 편차가 각각 \sigma_{x}, \sigma_{y} 인 2차원 가우시안 분포 함수는 다음과 같이 정의 된다.

G_{\sigma_{x}, \sigma_{y}}(x, y) = {1 \over \sqrt{2 \pi \sigma_{x} \sigma_{y}}} e^{- ({x^{2} \over 2 \sigma_{x}^{2}} + {y^{2} \over 2 \sigma_{y}^{2}})}

  • 평균은 (0, 0)이고 \sigma_{x} = \sigma_{y} = 1.0 인 2차원 가우시안 분포 함수 그래프를 그리면 아래와 같다.
    • 평균이 (0, 0)이므로 (0, 0)에서 최댓값을 갖고, 평균에서 멀어질수록 함수가 감소한다.
    • 함수 그래프의 부피를 구하면 1이 된다.

  • 가우시안 필터는 이러한 2차원 가우시안 분포 함수로부터 구한 마스크 행렬을 사용한다. 가우시안 분포 함수는 연속 함수지만 이산형의 마스크를 만들기 위해 x와 y 값이 정수인 위치에서만 가우시안 분포 함수 값을 추출하며 마스크를 생성한다.
    • 평균이 0이고 표준 편차가 \sigma 인 가우시안 분포는 x가 -4 \sigma 부터 4 \sigma 사이인 구간에서 그 값의 대부분이 존재하기 때문에 가우시안 필터 마스크의 크기는 보통 (8 \sigma + 1) 로 결정한다.
    • 예컨대 위 그림과 같이 \sigma_{x} = \sigma_{y} = 1.0 인 가우시안 함수를 사용할 경우, x = \{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}, y = \{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \} 인 경우에만 가우시안 분포 함수 값을 추출하여 필터 마스크를 생성한다.
    • 이러한 방식으로 추출한 9 x 9 가우시안 필터 마스크가 아래 그림과 같다.

  • 위 그림에 나타난 가우시안 필터 마스크 행렬은 중앙부에서 비교적 큰 값을 가지고, 주변부로 갈수록 원소 값이 0에 가까운 작은 값을 가진다.
    • 그러므로 이 필터 마스크를 이용하여 마스크 연산을 수행한다는 것은 필터링 대상 픽셀 근처에는 가중치를 크게 주고, 필터링 대상 필셀과 멀리 떨어져 있는 주변부에는 가중치를 조금만 주어서 가중 평균(weighted average)을 구하는 것과 같다.
    • 즉, 가우시안 필터 마스크가 가중 평균을 구하기 위한 가중치 행렬 역할을 하는 것이다.
  • 마스크 연산에 의한 영상 필터링은 마스크 크기가 커짐에 따라 연산량도 함께 증가한다.
    • 9 x 9 행렬의 경우 한 번의 마스크 연산 시 81번의 곱셈 연산이 필요하다. 또한 큰 표준 편차 값을 사용하면 마스크 크기도 함께 커지므로 연산 속도 측면에서 부담이 될 수 있다.
    • 다행히 2차원 가우시안 분포 함수는 1차원 가우시안 분포 함수의 곱으로 분리할 수 있으며, 이러한 특성을 이용하면 가우시안 필터 연산을 크게 줄일 수 있다.
    • 2차원 가우시안 분포 함수 수식은 아래와 같이 분리하여 작성할 수 있다.

G_{\sigma_{x}, \sigma_{y}}(x, y) = {1 \over \sqrt{2 \pi \sigma_{x} \sigma_{y}}} e^{- ({x^{2} \over 2 \sigma_{x}^{2}} + {y^{2} \over 2 \sigma_{y}^{2}})} \\ = {1 \over \sqrt{2 \pi \sigma_{x}}} e^{- {x^{2} \over 2 \sigma_{x}^{2}}} \times {1 \over \sqrt{2 \pi \sigma_{y}}} e^{- {y^{2} \over 2 \sigma_{y}^{2}}} \\ = G_{\sigma_{x}}(x) \cdot G_{\sigma_{y}}(y) 

  • 이처럼 2차원 필터 마스크 생성 함수를 x축 방향으로 함수와 y축 방향으로의 함수로 분리할 수 있을 경우, 입력 영상을 x축 방향으로의 함수와 y축 방향으로의 함수로 각각 1차원 마스크 연산을 수행함으로써 필터링 결과 영상을 얻을 수 있다.
  • 예컨대 \sigma_{x} = \sigma_{y} = 1.0 인 2차원 가우시안 마스크로 영상을 필터링하는 것은 \sigma = 1.0 인 1차원 가우시안 마스크를 가로 방향과 세로 방향으로 각각 생성하여 두 번 필터링 하는 것과 같다.
    • 실제로 \sigma = 1.0 인 1차원 가우시안 함수로부터 1 x 9 가우시안 마스크 행렬은 다음과 같다.

g = \left( \begin{array}{rrrrrrrrr} 0.0001 & 0.0044 & 0.0540 & 0.2420 & 0.3989 & 0.2420 & 0.0540 & 0.0044 & 0.0001 \end{array} \right)

  • 그러므로 행렬 g 를 이용하여 필터링을 한 번 수행하고, 그 결과를 다시 g 의 전치 행렬인 g^{T} 를 이용하여 필터링 하는 것은 2차원 가우시안 필터 마스크로 한 번 필터링 하는 것과 같은 결과를 얻을 수 있다.
    • 이 경우 픽셀 하나에 대해 필요한 곱셈 연산 횟수가 18번으로 감소하여 연산량이 크게 줄어든다.
  • OpenCV에서 가우시안 필터링을 수행하려면 GaussianBlur() 함수를 사용하면 된다.
    • GaussianBlur() 함수는 src 영상에 가우시안 필터링을 수행하고 그 결과를 dst 영상에 저장한다. x축과 y축 방향으로의 표준 편차 sigmaX와 sigmaY는 서로 다른 값을 지정해도 되지만, 특정한 이유가 없다면 sigmaX와 sigmaY는 같은 값을 사용한다.
    • GaussianBlur() 함수에서 sigmaY인자를 지정하지 않거나 0으로 설정하면 y축 방향에 대해서도 sigmaX와 같은 표준편차를 사용한다.
    • 또한 가우시안 필터의 크기를 지정하는 ksize 인자에도 특별한 이유가 없다면 Size()를 전달하여 적절한 필터 크기를 자동으로 결정하도록 하는 것이 좋다.
  • 가우시안 필터링은 x축 방향과 y축 방향으로 각각 1차원 가우시안 필터를 적용하여 수행한다고 설명했는데 실제로 GaussianBlur() 함수 내부에서 가우시안 필터링을 구현할 때에도 x축 방향과 y축 방향에 따라 1차원 가우시안 필터 마스크를 각각 생성하여 필터링을 수행한다.
    • 이때 1차원 가우시안 필터 마스크를 생성하기 위해 OpenCV에서 제공하는 getGaussianKernel() 함수를 사용한다. 이 함수는 사용자가 지정한 표준 편차를 따르는 1차원 가우시안 필터 마스크 행렬을 생성하여 반환한다.
    • getGaussianKernel() 함수는 표준 편차가 sigma인 1차원 가우시안 분포 함수로부터 ksize x 1 크기의 필터 마스크 행렬을 생성하여 반환한다.
    • ksize는 (8 x sigma + 1) 보다 같거나 크게 지정하는 것이 좋다. 
    • 이 행렬의 원소에 저장되는 값은 다음의 수식을 따른다.

G_{i} = \alpha \cdot e^{{(i - (ksize-1) \div 2)^{2} \over 2 \sigma^{2}}}

  • 앞 수식에서 i = 0, 1, ... , ksize - 1 의 범위를 가지며, \alpha \sum_{i} G_{i} = 1 이 되도록 만드는 상수이다.
  •  Note)
    • getGaussianKernel() 함수는 ksize 값이 7보다 같거나 작고 sigma 값이 0 또는 음수인 경우에는 미리 정해 놓은 배열 값을 이용하여 커널 행렬을 생성한다.

샤프닝

언샤프 마스크 필터

  • 샤프닝(sharpning)이란 영상을 날카로운 느낌이 나도록 변경하는 필터링 기법.
    • 날카로운 느낌의 영상이란 객체의 윤곽이 뚜렷하게 구분되는 영상을 의미한다.
    • 영상을 초점이 잘 맞은 사진처럼 보이게끔 변경하려면 영상 에지 근방에서 픽셀 값의 명암비가 커지도록 수정해야 한다.
  • 샤프닝 기법과 관련하여 흥미로운 사실은 샤프닝을 구현하기 위해 블러링된 영상을 사용한다는 점. 블러링이 적용되어 부드러워진 영상을 활용하여 반대로 날카로운 영상을 생성한다는 것이다.
    • 여기서 블러링이 적용된 영상, 즉 날카롭지 않은 영상을 언샤프(unsharp) 하다고 말하기도 한다.
    • 이처럼 언샤프한 영상을 이용하여 역으로 날카로운 영상을 생성하는 필터를 언샤프 마스크 필터(unsharp mask filter)라고 한다.
  • 언샤프 마스크 필터링의 과정을 아래 이미지를 통해 확인할 수 있다.
    • 아래 이미지의 가로축은 픽셀 좌표의 이동을 나타내며, 세로축은 픽셀 값을 나타낸다.
    • (a)는 영상의 에지 부근에서 픽셀 값이 증가하는 모양을 나타낸 것이다.
    • (b)에서 파란색 실선 그래프는 f(x, y) 에 블러링을 적용한 결과를 나타내며, 이를 \bar{f}(x, y) 로 표기. 블러링된 결과와 원본 픽셀값 변화를 비교해 볼 수 있도록 (b)에 f(x, y) 를 검은색 점선으로 표현하였다.
    • (c)는 입력 영상 f(x, y) 에서 블러링된 \bar{f}(x, y) 를 뺀 결과이며, 이를 g(x, y) 로 표기. 즉 g(x, y) = f(x, y) - \bar{f}(x, y) 가 된다.
    • g(x, y) 는 입력 함수 값이 증가하기 시작하는 부분에서 음수 값을 가지고, 입력 함수 값 증가가 멈추는 부근에서 양수 값을 가진다. 그러므로 입력 함수 f(x, y) g(x, y) 를 더하면 에지가 강조된 함수가 생성된다.
    • (d)에서 h(x, y) = f(x, y) + g(x, y) 가 샤프닝이 적용된 결과 영상이 된다.

  • g(x, y) 는 입력 영상에서 블러링된 영상을 뺀 결과이므로, g(x, y) 는 입력 영상에서 오직 날카로운 성분만 가지고 있는 함수라 할 수 있다.
    • 고로 입력 영상 f(x, y) g(x, y) 를 더함으로써 날카로운 성분이 강조된 최종 영상 h(x, y) 가 얻어지는 것으로 해석할 수 있다.
    • 그런데 f(x, y) g(x, y) 를 단순하게 더하는 것이 아니라 실수 가중치를 곱한 후 더하면 날카로운 정도를 조절할 수 있다.
    • 즉, 샤프닝이 적용된 결과 영상 h(x, y) 의 수식을 다음과 같이 정의할 수 있다.

h(x, y) = f(x, y) + \alpha \cdot g(x, y)

  • 위 식에서 \alpha 에 1보다 작은 값을 지정하면 덜 날카로운 영상을 만들 수 있다.
    • 위 식에서 g(x, y) 대신 f(x, y) - \bar{f}(x, y) 수식을 대입하여 식을 정리하면 다음과 같다.

h(x, y) = f(x, y) + \alpha (f(x, y) - \bar{f} (x, y)) \\ = (1 + \alpha) f(x, y) - \alpha \cdot \bar{f}(x, y)

  • OpenCV에서는 언샤프 마스크 필터 함수를 따로 제공하지 않으므로 위 수식을 이용하여 코드를 직접 작성해야 한다.

잡음 제거 필터링

영상과 잡음 모델

  • 신호 처리 관점에서 잡음(noise)란 원본 신호에 추가된 원치 않은 신호를 의미한다.
    • 영상에서 잡음은 주로 영상을 획득하는 과정에서 발생하며, 디지털 카메라에서 사진을 촬영하는 경우 광학적 신호를 전기적 신호로 변환하는 센서(sensor)에서 주로 잡음이 추가된다.
  • 디지털 카메라에서 카메라 렌즈가 바라보는 장면을 원본 신호 s(x, y) 라고 하고, 여기에 추가된 잡음을 n(x, y) 라고 한다면, 실제로 카메라에서 획득되는 영상 신호 f(x, y) 는 다음과 같이 표현한다.

f(x, y) = s(x, y) + n(x, y)

  • 잡음이 생성되는 방식을 잡음 모델(noise model)이라고 하며, 다양한 잡음 모델 중에서 가장 대표적인 잡음 모델은 가우시안 잡음 모델(Gaussian noise model)이다.
    • 가우시안 잡음 모델은 보통 평균이 0인 가우시안 분포를 따르는 잡음을 의미한다.
  • 아래 그림은 평균이 0이고 표쥰편차가 10인 1차원 가우시안 분포 그래프이다.
    • 평균이 0이고 표준 편차가 \sigma 인 가우시안 분포는 x 값이 -\sigma \leq x \leq \sigma 구간에서 전체 데이터의 67%가 존재하고, -2\sigma \leq x \leq 2\sigma 구간에는 95% -3\sigma \leq x \leq 3\sigma 구간에는 99.7%가 존재한다.
    • 그러므로 평균이 0이고 표준 편차가 10인 가우시안 분포를 따르는 잡음 모델은 67%의 확률로 -10에서 10 사이의 값이 잡음으로 추가된다. 잡음 값이 -20부터 20 사이일 확률은 95%이며, 그 밖의 값이 잡음으로 추가될 확률은 5%이다.
    • 그러므로 표준편차가 작은 가우시안 잡음 모델일수록 잡음에 의한 픽셀 값 변화가 적다고 생각할 수 있다.

양방향 필터

  • 대부분의 영상에는 가우시안 잡음이 포함되어 있으며, 많은 컴퓨터 비전 시스템이 가우시안 잡음을 제거하기 위해 가우시안 필터를 사용한다.
    • 입력 영상에서 픽셀 값이 크게 변하지 않는 평탄한 영역에 가우시안 필터가 적용될 경우, 주변 픽셀 값이 부드럽게 블러링되면서 자음의 영향도 크게 줄어든다.
  • 그러나 픽셀 값이 급격하게 변경되는 에지 근방에 동일한 가우시안 필터가 적요오디면 잡음뿐만 아니라 에지 성분까지 함께 감소하게 된다. 즉, 잡음이 줄어들면서 에지도 무뎌지기 때문에 객체의 윤곽이 흐릿하게 바뀌게 된다.
  • 이러한 단점을 보완하기 위해 많은 사람들이 에지 정보는 그대로 유지하면서 잡음만 제거하는 에지 보전 잡음 제거 필터(edge-preserving noise removal filter)에 대해 연구하였다.
    • 특히 1998년 토마시(C. Tomasi)가 제안한 양방향 필터(bilateral filter)는 에지 성분은 그대로 유지하면서 가우시안 잡음을 효과적으로 제거하는 알고리즘이다.
    • 양방향 필터 기능은 OpenCV 라이브러리 초기 버전부터 포함되어 있어서 많은 사람들이 사용하고 있다.
    • 양방향 필터는 다음 공식을 사용하여 필터링을 수행한다.

g_{p} = {1 \over W_{p}} \sum_{q \in S} G_{\sigma_{s}} (\|p - q\|) G_{\sigma_{r}}(|f_{p} - f_{q}|)f_{q}

  • 위 수식에서 f 는 입력 영상, g 는 출력 영상, 그리고 p q 는 픽셀의 좌표를 나타낸다.
    • f_{p} f_{q} 는 각각 p 점과 q 점에서의 입력 영상 픽셀 값이고, g_{p} p 점에서의 출력 영상 픽셀 값이다.
    • G_{\sigma_{s}} G_{\sigma_{r}} 는 각각 표준 편차가 \sigma_{s} \sigma_{r} 인 가우시안 분포 함수이다.
    • S 는 필터 크기를 나타내고, 
    • W_{p} 는 양방향 필터 마스크 합이 1이 되도록 만드는 정규화 상수이다.
  • 양방향 필터 수식은 복잡해 보이지만 가만히 살펴보면 두 개의 가우시안 함수 곱으로 구성된 필터이다.
    • G_{\sigma_{s}} (\|p - q\|) 함수는 두 점 사이의 거리에 대한 가우시안 함수로서 가우시안 필터와 완전히 동일한 의미로 동ㅈ가한다.
    • 반면 G_{\sigma_{r}}(|f_{p} - f_{q}|) 함수는 두 점의 픽셀 값 차이에 의한 가우시한 함수이다. G_{\sigma_{r}}(|f_{p} - f_{q}|) 함수는 두 점의 픽셀 밝기 값 차이가 적은 평탄한 영역에서는 큰 가중치를 갖게 만들고 에지를 사이에 두고 있는 두 픽셀 사이에 대해서는 |f_{p} - f_{q}| 값이 크게 나타나므로 상대적으로 G_{\sigma_{r}}(|f_{p} - f_{q}|) 는 거의 0에 가까운 값이 된다.
    • 이로 인해 에지 근방에서는 가우시안 블러링 효과가 거의 나타나지 않고 에지가 보존된다.
  • 양방향 필터 수식이 픽셀 값의 차이에 의존적이기 때문에 양방향 필터 마스크는 영상의 모든 픽셀에서 서로 다른 형태를 갖게 된다.
    • 즉 모든 픽셀 위치에서 주변 픽셀과의 밝기 차이에 의한 고유의 필터 마스크 행렬을 만들어서 마스크 연산을 수행해야 한다.
    • 이는 일반적인 가우시안 블러링이 모든 위치에서 일정한 마스크 행렬을 사용하는 것과 차이가 있다. 따라서 양방향 필터는 가우시안 블러링보다 훨씬 많은 연산량을 필요로 한다.
  • OpenCV에서는 bilateralFilter() 함수를 이용하여 양방향 필터를 수행할 수 있다.
    • bilateralFilter() 함수에서 sigmaSpace 값은 일반적인 가우시안 필터링에서 사용하는 표준 편차와 같은 개념이다. 즉, 값이 클수록 더 많은 주변 픽셀을 고려하여 블러링을 수행한다.
    • sigmaColor 값은 주변 픽셀과의 밝기 차이에 관한 표준 편차이다. sigmaColor 값을 작게 지정할 경우, 픽셀 값 차이가 큰 주변 픽셀과는 블러링이 적용되지 않는다. 반면 sigmaColor 값을 크게 지정하면 픽셀 값 차이가 조금 크더라도 블러링이 적용된다. 즉, sigmaColor 값을 이용하여 어느 정도 밝기 차를 갖는 에지를 보존할 것인지를 조정할 수 있다.

미디언 필터

  • 미디언 필터(median filter)는 인력 영상에서 자기 자신 픽셀과 주변 픽셀 값 중에서 중간값(median)을 선택하여 결과 영상 픽셀 값으로 설정하는 필터링 기법
    • 미디언 필터는 마스크 행렬과 입력 영상 픽셀 값을 서로 곱한 후 모두 더하는 형태의 연산을 사용하지 않는다.
    • 미디언 필터는 주변 픽셀 값들의 중간값을 선택하기 위해 내부에서 픽셀 값 정렬 과정이 사용된다.
    • 미디언 필터는 특히 잡음 픽셀 값이 주변 픽셀값과 큰 차이가 있는 경우에 효과적으로 동작한다.
  • 아래 이미지는 3 x 3 정방형 마스크를 사용하는 미디언 필터 동작 방식을 나타낸 것이다.

  • OpenCV에서 medianBlur() 함수를 이용하여 미디언 필터링을 수행할 수 있다.
    • medianBlur() 함수는 ksize x ksize 필터 크기를 이용하여 미디언 필터링을 수행한다.
    • 다채널 영상인 경우 각 채널별로 필터링을 수행한다.
    • medianBlur() 함수는 내부적으로 BORDER_REPLICATE 방식으로 가장자리 외곽 픽셀 값을 설정하여 필터링을 수행한다.
[ssba]

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지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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