이상엽/ 행렬과 행렬식

행렬

용어정리

용어 설명
성분 행렬 안에 배열된 구성원 (=항=원소)
행렬의 가로줄
행렬의 세로줄
m \times n 행렬 m 개의 행과 n 개의 열로 이루어진 행렬
주대각선 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선
대각성분

주대각선에 걸치는 행과 열의 지표수가 같은 성분 (i, i 성분)

대각성분으로만 이루어진 행렬을 대각행렬이라 한다.

ex) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)

영행렬 모든 성분이 0인 행렬
전치행렬

(a_{ij}) 에 대하여 (a_{ji})  

i와 j의 자리를 바꾼 행렬

대칭행렬 A = A^{T} A
정사각행렬 행, 열의 개수가 같은 행렬
단위행렬 모든 대각성분이 1이고 그 외의 성분은 0인 정사각행렬

행렬의 연산

덧셈과 뺄셈

m \times n 행렬 A = (a_{ij}) , B = (b_{ij}) 에 대해

A \pm B = (a_{ij} \pm b_{ij})

상수배

m \times n 행렬 A = (a_{ij}) 에 대해

상수 c 에 대해 cA = (ca_{ij})

곱셈

m \times n 행렬 A = (a_{ij}) n \times r 행렬 B = (b_{jk}) 에 대해

AB = (c_{ik}) : m \times r 행렬

단, c_{ik} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} b_{jk}

행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립되지 않는다.

  • 행렬의 곱셈은 함수 합성과 비슷한 개념이다.
  • 두 함수가 f(x, y) = (ax+by, cx+dy), g(x, y) = (px+qy, rx+sy) 라고 할 때, 두 함수의 합성은 다음과 같다.
    • f \circ g \\ = (apx + aqy + brx + bsy, cpx + cgy + drx + dsy) \\ = ((ap+br)x + (aq+bs)y, (cp+dr)x + (cq+ds)y)
  • 두 행렬이 F = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d  \end{array} \right), G = \left( \begin{array}{rr} p & q \\ r & s  \end{array} \right) 라고 할 때, 두 행렬의 곱은 다음과 같다.
    • FG = \left( \begin{array}{rr} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds  \end{array} \right)
  • 결국 두 함수의 합성과 두 행렬의 곱이 결과가 같다.
    • 행렬의 곱의 규칙이 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 곱하는 이유가 이러한 까닭.

연립일차방정식

행렬의 표현

예를 들어 \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}

  1. \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) 는 가우스 조던 소거법
  2. \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 8 \end{array} \right) 은 역행렬을 이용

가우스 조던 소거법

다음 세 가지의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행사다리꼴로 변환하여 해를 구한다.

  1. 한 행을 상수배한다.
  2. 한 행을 상수배하여 다른 행에 더한다.
  3. 두 행을 맞바꾼다.

역행렬 이용

연립일차방정식 AX = B 에서 A 의 역행렬 A^{-1} 가 존재하면, X = A^{-1}B 이다

예를 들어

\left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 8 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 8 \end{array} \right)

행렬식

행렬식이란?

정사각행렬 A 를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수. det A = |A|

  • 행렬식은 행렬보다 먼저 있었던 개념.

이때 A

0 \times 0 \Rightarrow det ( ) = 0

1 \times 1 \Rightarrow det (a) = a

2 \times 2 \Rightarrow det (\left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

3 \times 3 \Rightarrow det (\left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)) \\ = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} \\ = a_{11} \left| \begin{array}{rr} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - a_{12} \left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + a_{13} |\left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \\ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}  

  • M_{ij} 란 행렬 A 에서 i 행과 j 열을 제외한 나머지 행렬을 말함.
    • M은 Minor Matrix로 소행렬이라고 한다. (원래 행렬에서 일부를 제외한 나머지 행렬)
  • M은 꼭 1행을 기준으로 잡지 않아도 된다. 1열을 기준으로 하거나 다른 것을 기준으로 해도 결과는 같다.
    • 최종적으로 a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}   의 꼴이 나오기만 하면 되기 때문.
  • 사루스 법칙
    • 첫 번째 원소로부터 오른쪽 아래 대각선으로 그으면서 곱하여 더함. 모두 더한 후에는 가장 오른쪽 원소로부터 왼쪽 아래 대각선을 그으면서 앞의 값에서 뺀다.
    • 그러면 결국 a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}   의 꼴이 나옴.

4 \times 4 \Rightarrow det A = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} - a_{14} M_{14}

  • 행렬식의 계산은 위와 같이 일반화 된다.
    • 첫 행렬과 그 행렬이 포함된 행렬을 제외한 마이너 행렬을 곱한것을 차례로 더했다가 뺐다가를 반복하면 된다.
    • 이 계산을 일반화 하면 2×2 행렬에서 ad – bc가 되는 것도 같은 원리가 된다.

역행렬

행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다. 즉, 행렬식이 0이 아닌 정사각 행렬 A 의 역행렬 A^{-1}

A^{-1} = { 1 \over det A } \left( \begin{array}{rrr} C_{11} & C_{22} & ... \\ C_{12} & C_{22} & ... \\ ... & ... & ... \end{array} \right) (단 C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} )

  • C 는 수반행렬이라고 한다.
  • C_{ij} M_{ij} 에 순서대로 +, -를 번갈아 붙인 값이 된다.
  • 수반행렬(C_{ij} ) 는 원래 행렬과 순서가 전치됨.

ex)

\left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)^{-1} = { 1 \over ad - bc } \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)

  • 역행렬은 교환법칙이 성립한다.
    • AB = I \\ \Rightarrow BABB^{-1} = BIB^{-1} \\ \Rightarrow BAI = BB^{-1} \\ \Rightarrow BA = I

크래머 공식

연립일차방정식 AX = B 에서 A 가 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬일 때,

x_{j} = { det A_{j} \over det A } = { \left| \begin{array}{rrrrr} a_{11} & ... & b_{1} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... & b_{2} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & b_{n} & ... & a_{nn} \end{array} \right| \over \left| \begin{array}{rrrrr} a_{11} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn} \end{array} \right| }

단, j = 1, ... , n 이고 A_{j} A j 번째 열을 B 의 원소로 바꾼 행렬이다.

  • 크래머 공식은 행렬 전체를 구하는게 아니라 그 중에 일부 원소에 대한 값만 빠르게 구할 수 있는 방법.
    • 행렬의 구조를 이용해서 정리한 내용이라 행렬 계산을 반복해서 보면 자명하게 이해된다.
    • 행렬 연산의 구조를 이용해서 이렇게 저렇게 짜맞추고 최종 결과를 이끌어 냄.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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