이상엽/ 물리적 벡터

벡터와 좌표계

평면벡터

R^{2} 에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구

  • 벡터는 크기와 방향만 고려하므로 위치가 다르더라도 크기와 방향이 같으면 같은 것으로 인정한다. 고로 아래 이미지상 v와 동일한 벡터는 d가 된다.

공간벡터

R^{3} 에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구

n차원 벡터

R^{n} 상의 벡터 v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}) = \vec{AB} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, ... , b_{n} - a_{n})

  • 영벡터 \vec{0} = 0 = (0, 0, ... , 0)
  • 두 벡터 v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}), w = (w_{1}, w_{2}, ... , w_{n}) 가 같다
    • \Leftrightarrow v_{1} = w_{1}, v_{2} = w_{2}, ... , v_{n} = w_{n}

벡터의 연산

노름

  • 벡터의 크기 (또는 길이) 라고 한다.
    • \|v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + ... + v_{n}^{2}}
  • 노름이 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.
    • 정규화: 벡터의 단위 벡터 (크기를 1)로 만드는 과정.
      • {v \over \|v\|} = \hat{v}
  • e_{1} = (1, 0, 0, ... , 0), e_{2} = (0, 1, 0, ... , 0) 등을 표준 단위벡터라고 한다.
    • 벡터를 표준단위 벡터를 이용하여 아래와 같이 표현 가능
    • v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}) = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + ... + v_{n} e_{n}

선형결합

  • 선형이라는 의미는 선으로 그려지는 것 보다는 –축소된 의미– ‘예측 가능한’ 이라는 의미로 이해하는 것이 좋다.
    • 역으로 비선형이라는 말은 ‘예측 불가능한’ (확률적인) 이라는 의미로 이해하는 것이 좋음.

벡터의 덧셈과 뺄셈

v \pm w = (v_{1} \pm w_{1}, v_{2} \pm w_{2} + ... + v_{n} \pm w_{n})

벡터의 실수배

kv = (kv_{1}, kv_{2}, ... , kv_{n})

선형(일차) 결합

R^{n} 의 벡터 w 가 임의의 실수 k_{1}, k_{2}, ... k_{r} 에 대하여

w = k_{1}v_{1}, k_{2}v_{2}, ... k_{r}v_{r} 의 형태로 쓰여지면 w v_{1}, v_{2}, ... v_{r} 의 선형(일차)결합이라 한다.

스칼라 곱

한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해 가한 힘에 의해 변화된 스칼라(크기), 점곱 또는 내적

  • 스칼라 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱
  • 점 곱(dot product) 또는 내적이라고도 한다.

v \cdot w = \|v\| \|w\| cos \theta = v{1}w_{1} + v_{2}w_{2} + ... + v_{n}w_{n}

(\theta 는 두 벡터 v, w 가 이루는 각)

  • 개념적으로 봤을 때 두 벡터의 스칼라 곱은 두 벡터의 크기를 곱한 것으로 정의한다.
  • 다만 벡터는 방향이라는 개념이 있기 때문에 단순 곱만이 아니라 추가적인 정의가 필요한데,
    • 일단 두 벡터 v, w가 같은 방향일 경우 스칼라 곱은 두 벡터의 곱으로 정의해 볼 수 있다.
      • \vec{v} \cdot \vec{w} = \|\vec{v}\| \times \|\vec{w}\|
    • 만일 두 벡터 v, w가 다른 방향일 경우, w를 v와 동일한 방향과 그렇지 않은 방향으로 분해해서 v와 곱할 수 있다.
      • 위 그림에서 w는 v와 일치하는 방향과 v와 수직인 방향으로 분해할 수 있는데, v와 일치하는 방향의 크기와 v를 곱한게 최종적인 벡터의 스칼라 곱으로 정의가 된다. (w의 크기보다 줄어드는데 이는 w의 수직 방향의 힘이 v와 같은 방향의 힘을 줄이기 때문이라고 이해할 수 있다.)
      • w를 v와 같은 방향의 벡터인 a와 v와 직교하는 방향의 벡터인 b로 분해하면 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.
      • \vec{v} \cdot \vec{w} = \|\vec{v}\| \times \|\vec{a}\| = \|\vec{v}\| \times \|\vec{w}\| \times cos \theta
        • \vec{a} 의 크기는 \vec{w} 의 크기에 cos \theta 를 곱한 것과 같다.

벡터의 연산 성질

R^{n} 상의 벡터 u, v, w 와 스칼라 k, m 에 대하여 다음이 성립한다.

  • u + v = v + u
  • (u + v) + w = u + (v + w)
  • u + \vec{0} = \vec{0} + u = u
  • u + (-\vec{u}) = \vec{0}
  • k(u + v) = ku + kv
  • (k+m)u = ku + mu
  • k(mu) = (km)u
  • 1u = u
  • 0u = \vec{0}, k\vec{0} = \vec{0}
  • u \cdot v = v \cdot u
  • \vec{0} \cdot u = u \cdot \vec{0} = \vec{0}
  • u \cdot (v + w) = u \cdot v + u + \cdot w
  • (u + v) \cdot w = u \cdot w + v + \cdot w
  • k(u \cdot v) = (ku) \cdot v = u \cdot (kv)

벡터 곱

방향은 두 벡터에 동시에 수직이고 크기는 두 벡터의 평행사변형의 면적인 R^{3} 상의 벡터, 가위곱, 또는 외적

  • 벡터 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱
    • 같은 맥락에서 텐서 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱은 텐서 곱이라고 한다.
  • 가위 곱(cross product) 또는 외적 이라고도 한다.
    • 사실 외적이라는 표현은 적절하지 못한 표현인데, 텐서 곱이 외적이기 때문.
  • 벡터 곱은 오로지 3차원에서만 정의 되며, 2차원, 4차원 이상에서 정의 불가.
    • 반면 스칼라 곱은 N 차원에 대해 정의 가능.

v \times w = ( \left| \begin{array}{rr} v_{2} & v_{3} \\ w_{2} & w_{3} \end{array} \right|, -\left| \begin{array}{rr} v_{1} & v_{3} \\ w_{1} & w_{3} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{rr} v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2} \end{array} \right| )

  • 벡터 곱의 크기는 두 벡터의 크기의 곱이 되고 (평행사변형의 면적), 방향은 두 벡터에 동시에 수직인 방향이 된다.
    • 벡터 곱은 순서가 중요한데, 순서에 따라 벡터 곱의 방향이 바뀐다.
    • 위 예시에서 v \times w 는 위로, w \times v 는 아래로 가는 벡터가 된다.
  • 벡터 곱 연산은 두 벡터의 행렬식으로 계산된다.

벡터 곱의 성질

R^{3} 상의 벡터 u, v, w 와 스칼라 k 에 대하여 다음이 성립한다.

  • u \times v = -(v \times u)
    • 벡터 곱 순서를 바꾸면 방향이 반대가 된다.
  • u \times (v + w) = (u \times v) + (u \times w)
  • (u + v) \times w = (u \times w) + (v \times w)
  • k(u \times v) = (ku) \times v = u \times (kv)
  • u \times \vec{0} = \vec{0} \times u = \vec{0}
  • u \times u = \vec{0}
    • 자기 자신과 벡터 곱을 하면 영벡터가 된다.

벡터의 응용

직선의 표현

R^{2} 또는 R^{3} 에서 위치벡터가 a 인 점 A 를 지나며 방향벡터가 v 인 직선 상의 임의의 점 X 의 위치벡터 x

x = a + kv

을 만족한다. (단, k 는 임의의 실수)

  • 직선의 방정식이 아니라 벡터 –위치벡터와 방향벡터– 를 통해서도 직선을 표현할 수 있다는 뜻.
    • 위치벡터란 원점을 시점으로 하는 벡터를 뜻한다.
    • 방향벡터란 직선이 늘어나는 방향을 지시하는 벡터를 뜻한다.
  • y = x + 2 라는 직선의 방정식을 벡터를 이용해서 표현하면 (x, y) = (-1+k, 1+k) 의 꼴이 된다.

평면의 표현

R^{3} 에서 위치벡터가 a 인 점 A 를 지나며 법선벡터가 v 인 평면 상의 임의의 점 X 의 위치벡터 x

(x - a) \cdot v = 0

을 만족한다. 

  • 법선벡터는 평면상의 서로 다른 두 직선의 방향벡터들의 벡터 곱으로써 구하면 용이하다.
    • 법선벡터란 평면에 수직인 벡터를 뜻한다.

  • x - 2 + y + z = 0 라는 평면의 방정식을 벡터를 이용해서 표현하면 (x-2, y, z) 의 꼴이 된다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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