이상엽/ 수학적 벡터 (벡터공간)

대수구조

대수구조

수 뿐만 아니라 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공리로써 엮인 수학적 대상.

간단히 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 한다.

여러 대수구조

  • 집합: 아무런 연산이 부여되지 않은 대수구조
  • 반군: 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
  • 모노이드: 항등원을 갖는 반군
  • 군: 역원을 갖는 모노이드
  • 아벨군(가환군): 교환법칙이 성립하는 군
    • 아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
  • 환: 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
    • 환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
    • 1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
  • 가군: 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
    • 벡터공간은 가군의 한 종류
    • 가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
  • 가환환: 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
    • 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
  • 나눗셈환: 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
    • 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
  • 체: 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
    • 2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.

(\mathbb{R}, *), (V, +, \cdot) -> 이런식으로 표기되면 대수구조가 된다. 대상이 되는 집합을 정의하고 그 집합에 적용되는 연산에 대한 정의가 되면 대수구조가 된다.

환 이전까지는 연산의 종류가 1종류이고 환 이후로 체까지는 연산의 종류가 2가지가 됨. 연산의 종류가 3개 이상인 경우도 있으나 여기서는 생략.

벡터공간

벡터공간

F 에 대한 가군 (V, +, \cdot) 을 벡터공간, V의 원소의 벡터라 한다.

이때 + 는 벡터의 덧셈이고, \cdot 는 벡터의 스칼라배이다.

  • 참고)
    • + : V \times V \to V 인 함수
    • \cdot : F \times V \to V 인 함수
  • (V, +) 는 아벨군이다. (u, v, w \in V)
    • (u + v) + w = u + (v + w)
    • u + v = v + u
    • u + \vec{0} = u \vec{0} V 에 존재한다.
    • u + (-u) = \vec{0} -u V 에 존재한다.
  • (V, +, \cdot) F 의 가군이다. (k, m \in F)
    • k \cdot (m \cdot u) = (km) \cdot u
    • F 의 곱셈 항등원 1에 대해 1 \cdot u = u
    • (k + m) \cdot (u + v) = k \cdot u + m \cdot u + k \cdot v + m \cdot v

수학적으로 벡터란 벡터공간의 원소를 의미함. 벡터공간이란 벡터 대수구조를 만족하는 것을 의미. –아래 예시와 같이 덧셈 연산을 곱셈으로, 곱셈 연산을 지수 연산으로 바꾸어도 벡터 대수구조를 만족하므로 벡터 공간이 된다. 고로 그 집합에 속하는 원소 또한 벡터가 됨–

방향 같은 개념은 수학적인 벡터의 고려 대상이 아님. 그러나 이와 같은 정의가 만족되면 물리적인 벡터에 대해서도 동일하게 적용이 가능. 물리적인 벡터 개념에서 엄밀한 개념만 남긴 것이 수학적 벡터 개념.

  • ex)
    • 벡터에 대한 집합과 다음과 같이 정의할 때
      • V = \{ x | x \in \mathbb{R}, x > 0 \}
      • F = \mathbb{R}
      • + : V \times V \to V, u + v = uv
        • +를 곱셈으로 정의
        • V의 원소와 V의 원소에 대한 +을 하면 그 결과가 V가 나온다.
      • \cdot = F \times V \to V, k \cdot u = u^{k}
        • \cdot 을 지수곱으로 정의
        • F의 원소와 V의 원소에 대한 \cdot 을 하면 그 결과가 V가 나온다.
    • 이와 같은 정의 또한 벡터공간의 대수구조를 만족하므로 벡터공간이라 할 수 있다.
      • (V, +) 는 아벨군이 되고, (V, +, \cdot) 은 가군이 된다.

선형생성

부분벡터공간

벡터공간 V 상에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 되는 V 의 부분집합 W V 의 부분벡터공간 또는 부분공간이라 한다.

선형생성

벡터공간 V 의 공집합이 아닌 부분집합 S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, V 의 부분벡터공간을 S 의 (선형)생성 span(S) 이라 한다. 즉,

span(S) = \{ \sum_{i = 1}^{n} k_{i} v_{i} | k_{i} \in F, v_{i} \in S \}

이때 S span(S) 을 (선형)생성한다 라고 한다.

  • ex)
    • S = { (1, 0), (0, 1) }, F = \mathbb{R} 라 할 때 –S는 (1, 0), (0, 1)의 벡터를 가진 집합
    • span(S) = \{ k(1, 0) + m(0, 1) | k, m \in F \} 
    • = \{ (k, m) | k, m \in F \}
    • = \mathbb{R}^{2}
    • S라는 집합은 2차원 실수 벡터 공간을 생성한다. (= (1, 0), (0, 1) 이라는 벡터 2개만 있으면 2차원 실수 벡터 공간을 만들 수 있다)

선형 독립

벡터공간 V 의 공집합이 아닌 부분집합 S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} 에 대하여

k_{1} v_{1} + k_{2} v_{2} + ... + k_{n} v_{n} = \vec{0} \\ \Rightarrow k_{1} = k_{2} = ... = k_{n} = 0

이면 S 가 선형독립이라고 한다. 만약 k_{1} = k_{2} = ... = k_{n} = 0 외의 다른 해가 존재하면 S가 선형종속이라고 한다.

  • ex)
    • S_{1} = { (1, 0), (0, 1), (1, 1) } 라 할 때
      • k_{1}(1, 0) + k_{2}(0, 1) + k_{3}(1, 1) = \vec{0} 를 만족하는 K의 값은
      • k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0 \\ k_{1} = k_{2} = 1, k_{3} = -1 ... 과 같이 모든 k가 0이지 않은 해가 존재하므로 S_{1} 은 선형종속집합이 된다.
    • S_{2} = { (1, 0), (0, 1) } 라 할 때
      • k_{1}(1, 0) + k_{2}(0, 1) = \vec{0} 를 만족하는 K의 값은
      • k_{1} = k_{2} = 0 뿐이므로 S_{2} 은 선형독립집합이 된다.

여러 벡터공간

노름공간

노름이 부여된 K-벡터공간 (V, \|\cdot\|)

노름이란 \forall u, v \in V, \forall k \in K 에 대해 아래 세 조건을 만족시키는 함수

\|\cdot\| : V \to [0, \infty) 이다. (K \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\})

  • \|kv\| = |k|\|v\|
  • \|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|
  • \|v\| = 0 \Leftrightarrow v = \vec{0}

내적공간

내적이 부여된 K-벡터공간 (V, <\cdot, \cdot>)

내적이란 \forall u, v, w \in V, \forall k \in K 에 대해 아래 네 조건을 만족시키는 함수

<\cdot, \cdot> : V \times V \to K 이다. (K \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\})

  • <u + v, w> = <u, w> + <u, w>
  • <ku, v> = k<v, u>
  • <u, v> = <\overline{v, u}>
    • (복소수체 일 때는 위에 바가 붙고, 실수에서는 붙지 않는다)
  • v \neq \vec{0} \Rightarrow <v, v> > 0

유클리드공간

음이 아닌 정수 n 에 대하여 n 차원 유클리드공간 R^{n} 은 실수집합 R n 번 곱집합이며, 이를 n 차원 실수 벡터공간으로써 정의하기도 한다.

이 위에 내적 <u, v> = \sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i} = u \cdot v 을 정의하면 점곱, 스칼라곱이라고도 한다.

기저와 차원

기저

벡터공간 V 의 부분집합 B 가 선형독립이고 V 를 생성할 때, B V 의 기저라 한다.

  • ex)
    • V = \mathbb{R}^{2}
    • B_{1} = \{ (1, 0), (0, 1) \} 일 때
      • \Rightarrow span(B_{1}) = \mathbb{R}^{2}  
      • \therefore B_{1} V 의 기저
    • B_{2} = \{ (1, 0), (1, 1) \} 일 때
      • (a, b) = k(1, 0) + m(1, 1) = (k+m, m)
      • \therefore m = b, k = a - b  
      • \therefore B_{2} V 를 생성할 수 있고 선형독립이므로 V 의 기저가 된다.
    • S = \{ (1, 0), (0, 1), (1, 1) \} 일 때
      • span(S) = \mathbb{R}^{2} 를 만족하지만, 선형독립이 아니므로 S V 의 기저가 안 된다.

차원

B 가 벡터공간 V 의 기저일 때 B 의 원소의 개수를 V 의 차원 dim(V) 라 한다.

  • ex)
    • 앞선 예에서 B_{1}, B_{2} V 의 기저이고 B_{1}, B_{2} 의 원소의 개수는 2개이므로 V 는 2차원이 된다.

정규기저

다음 조건을 만족하는 노름공간 V 의 기저 B 를 정규기저라 한다.

\forall b \in B, \|b\| = 1

직교기저

다음 조건을 만족하는 내적공간 V 의 기저 B 를 직교기저라 한다.

\forall b_{1}, b_{2} \in B, <b_{1}, b_{2}> = 0

정규직교기저

정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정규직교기저라 한다.

특히 R^{n} 의 정규직교기저 

\{ (1, 0, ... , 0), (0, 1, ... , 0), ... , (0, 0, ... , 1) \}

를 표준기저라 한다.

  • ex) R^{2} 에 대하여
    • B_{1} = \{ (1, 0), (0, 1) \} 는 정규기저도 아니고 직교기저도 아니다.
    • B_{2} = \{ (1, 0), ({1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) \} 는 정규기저지만 직교기저는 아니다.
    • B_{3} = \{ (1, 1), (1, -1) \} 는 정규기저는 아니지만 직교기저이다.
    • B_{4} = \{ (1, 0), (0, 1) \} 는 정규기저이고 직교기저이다. 이를 특별히 표준기저라고 한다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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