이상엽/ 선형사상

선형사상

선형사상

  • 사상이란 대수구조를 다루는 함수.
    • 엄밀히 말하면 함수보다 더 포괄적인 개념이지만, 둘이 흡사하기 때문에 혼용해서 사용함.
  • 선형사상이란 가산성(additivity)과 동차성(homogeneity)을 만족하는 사상

정의

F -벡터공간 V, W 에 대하여 V 의 성질을 보존하는 다음 두 조건을 만족하는 사상 L : V \to W

  • L(u+v) = L(u) + L(v) (u, v \in V)
    • 가산성
  • L(kv) = kL(v) (k \in F, v \in V)
    • 동차성
  • L은 선형사상이기 때문에 사용하는 기호로, L이 붙어 있으면 선형 사상이라고 보면 된다.

관련 용어

L : V \to W 가 선형사상일 때

  • 핵 (kernel): ker L = L^{-1}(\vec{0}) = \{ v \in V | L(v) = \vec{0} \}
    • 일종의 공역 개념
  • 상 (image): im L = L(V) = \{ L(v) \in W | v \in V \}
    • 일종의 치역 개념
  • 자기사상: V = W L
  • 단사사상: L(u) = L(v) \Rightarrow u = v L
  • 전사사상: L(V) = W L
  • 동형사상: 단사사상인 전사사상
  • 자기동형사상: 자기사상인 동형사상
  • 항등사상: L(v) = v L(=I_{v})
  • 사상의 합성: 두 선형사상 L_{1} : V \to U, L_{2} : U \to W 의 합성은 L_{2} \circ L_{1} : V \to W 로 쓴다.
  • 역사상
    • L_{2} \circ L_{1} = I_{v} 일 때, L_{2} L_{1} 의 왼쪽 역사상, L_{1} L_{2} 의 오른쪽 역사상이라 한다.
    • 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상을 양쪽 역사상 또는 역사상이라 한다.

여러 선형사상

L : V \to W 가 선형사상이고 v \in V 일 때

  • L(v) = \vec{0} : 영사상
  • L(v) = v : 항등사상
  • L(v) = kv (단, k는 스칼라)
  • L(v) = Mv^{(T)} (단, M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F), V = F^{n}, W = F^{m}  )
  • L(v) = <v, v_{0}> (단, $latex v_{0} \in V)

선형대수학의 기본정리

F -벡터공간 V, W 에 대하여 V 에서 W 로의 선형사상의 집합을 \mathcal{L}(V, W) 라 하고, 다음과 같이 \mathcal{L}(V, W) 위에 합과 스칼라배를 정의한다. (v \in V, k \in F )

  • (L_{1} + L_{2})(v) = L_{1}(v) + L_{2}(v)
  • (kL)(v) = kL(v)

이제 F 위의 m \times n 행렬들의 집합을 \mathcal{M}_{m \times n}(F) 라 하고, 두 사상 f, g 를 다음과 같이 정의한다.

  • f : \mathcal{L}(V, W) \to \mathcal{M}_{m \times n}(F)
    • f(L) = [L]_{B_{W}}^{B_{V}} = M
    • 선형사상에서 행렬로 가는 사상
  • g : \mathcal{M}_{m \times n}(F) \to \mathcal{L}(V, W)
    • g(M) = L_{M} ([L_{M}(v)]_{B_{W}} = M[v]_{B_{v}})
    • 행렬에서 선형사상으로 가는 사상
  • [기호 설명]
    • B_{V} 는 V B_{W} 는 W 의 순서기저, 즉, 기저의 원소들은 순서가 정해져있고 바뀌지 않는다.
      • ex) V = \mathbb{R}^{3} \Rightarrow B_{v} = \{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \}
      • 이때 B_{v} V 의 순서기저가 된다.
    • v \in V, v = k_{1} v_{1} + k_{2} v_{2} + ... + k_{n} v_{n} 에 대해 [v]_{B_{V}} = (k_{1}, k_{2}, ... , k_{n})^{T}
      • ex) v \in V, v = 3v_{1} + v_{2} + 2v_{3} \Rightarrow (3, 2, 1)^{T} \Rightarrow [v]_{B_{v}}
      • 쉽게 말해 선형결합의 계수들을 모아 열벡터로 만든 것이다.
    • [L]_{B_{W}}^{B_{V}} = ([L(v_{1})]_{B_{W}}, [L(v_{2})]_{B_{W}}, ... , [L(v_{n})]_{B_{W}})
      • ex) L : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}, L(v) =  \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot v, B_{w} = \{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \}
      • v_{1} = (1, 1) \in \mathbb{R}^{2}, v_{2} = (2, 2) \in \mathbb{R}^{2}, v_{3} = (3, 3) \in \mathbb{R}^{2} 
      • L(v_{1}) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right) \Rightarrow [L(v_{1})]_{B_{w}} = \left( \begin{array}{rrr} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{3}
      • L(v_{2}) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 2 \end{array} \right) \Rightarrow [L(v_{2})]_{B_{w}} = \left( \begin{array}{rrr} 4 \\ 8 \\ 12 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{3}
      • L(v_{3}) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 \\ 3 \end{array} \right) \Rightarrow [L(v_{3})]_{B_{w}} = \left( \begin{array}{rrr} 6 \\ 12 \\ 18 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{3}
      • \Rightarrow [L]_{B_{w}}^{B_{v}} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 8 & 12 \\ 6 & 12 & 18 \end{array} \right) = M \in \mathcal{M}_{3 \times 3}

그러면 f g 는 모두 동형사상이다. 또한 두 사상 f g 는 서로 역사상 관계이다.

  • 선형사상에서 행렬로 가는 사상과, 행렬에서 선형사상으로 가는 것이 동형사상이므로, 선형사상에 대해서는 그냥 행렬을 이용하면 된다.

위에 대한 증명)

선형사상에서 행렬로 가는 f 에 대해서

  • 선형사상 증명
    • 가산성 증명
      • \forall i \in \{ 1, 2, ... , n \}, \forall L_{1}, L_{2} \in \mathcal{L}(V, W)
      • (L_{1} + L_{2}) (v_{i}) = L_{1}(v_{i}) + L_{2}(v_{i}) (\because definition)
      • [(L_{1} + L_{2}) (v_{i})]_{B_{w}} = [L_{1}(v_{i})]_{B_{w}} + [L_{2}(v_{i})]_{B_{w}}
      • \Leftrightarrow [L_{1} + L_{2}]_{B_{w}}^{B_{v}} = [L_{1}]_{B_{w}}^{B_{v}} + [L_{2}]_{B_{w}}^{B_{v}}
      • \therefore f(L_{1} + L_{2}) = f(L_{1}) + f(L_{2})
    • 동차성 증명
      • \forall k \in F, \forall i \in \{ 1, 2, ... , n \}
      • [(kL)(v_{i})]_{B_{w}} = k \cdot [L(v_{i})]_{B_{w}}
      • \Rightarrow [kL]_{B_{w}}^{B_{v}} = k \cdot [L]_{B_{w}}^{B_{v}}
      • \therefore f(kL) = k \cdot f(L)
  • 동형사상 증명
    • 단사사상 증명
      • \forall L_{1}, L_{2} \in \mathcal{L}(V, W), f(L_{1}) = f(L_{2})
      • \Leftrightarrow [L_{1}(v_{i})]_{B_{w}} = [L_{2}(v_{i})]_{B_{w}} (\forall i \in {1, 2, ... , n})
      • \Leftrightarrow L_{1}(v_{i}) = L_{2}(v_{i})
      • 한편, \forall v \in V, \exists k_{1}, k_{2}, ... k_{n} \in F
      • s.t) v = k_{1} v_{1} + ... + k_{n} v_{n} = \sum_{i=1}^{n} k_{i} v_{i} (\because \{ v_{1},  ... , v_{n} \} = B_{v})
      • \therefore L_{1}(v_{i}) = L_{2}(v_{i})
      • \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} k_{i} L_{1} (v_{i}) = \sum_{i=1}^{n} k_{i} L_{2} (v_{i})
      • \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} L_{1} (k_{i} v_{i}) = \sum_{i=1}^{n} L_{2} (k_{i} v_{i})
      • \Rightarrow L_{1} (k_{1} v_{1}) + ... + L_{1} (k_{n} v_{n}) = L_{2} (k_{1} v_{1}) + ... + L_{2} (k_{n} v_{n})
      • \Rightarrow L_{1} (k_{1} v_{1} + ... + k_{n} v_{n}) = L_{2} (k_{1} v_{1} + ... + k_{n} v_{n})
      • \Rightarrow L_{1}(v) = L_{2}(v)
      • \therefore L_{1} = L_{2}
    • 전사사상 증명
      • \forall M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)
      • [M]^{i} := M i 번째 열
      • 이제 [L(v_{i})]_{B_{w}} := [M]^{i}
      • surely, [L]_{B_{w}}^{B_{v}} = M
      • \therefore f(L) = M
  • 위의 증명에 따라 선형사상에 적용되는 것은 모두 행렬에 대해 적용 가능

사상 g 에 대해서

  • 선형사상 증명
    • 가산성 증명
      • \forall M_{1}, M_{2} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F), \forall v \in V
      • [L_{M_{1} +M_{2}}(v)]_{B_{W}} = (M_{1} + M_{2})[v]_{B_{V}}
      • = M_{1}[v]_{B_{V}} + M_{2}[v]_{B_{V}}
      • = [L_{M_{1}}(v)]_{B_{V}} + [L_{M_{2}}(v)]_{B_{V}}
      • \therefore L_{M_{1} +M_{2}} = L_{M_{1}} + L_{M_{2}}
      • 즉, g(M_{1} + M_{2}) = g(M_{1}) + g(M_{2})
    • 동차성 증명
      • \forall k \in F, \forall M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)
      • [L_{km}(v)]_{B_{W}} = (kM)[v]_{B_{W}}
      • = k \cdot M [v]_{B_{W}}
      • = k [L_{M}(v)]_{B_{W}}
      • \therefore g(kM) = k \cdot g(M)
  • 동형사상 증명
    • 단사사상 증명
      • g(M_{1}) = g(M_{2})
      • \Rightarrow [L_{M_{1}}(v)]_{B_{W}} = [L_{M_{2}}(v)]_{B_{W}}
      • \Rightarrow M_{1}[v]_{B_{W}} = M_{2}[v]_{B_{W}}
      • \Rightarrow [M_{1}]^{i} = [M_{2}]^{i}, (\forall i)
      • \Rightarrow M_{1} = M_{2}
    • 전사사상 증명
      • \forall L \in \mathcal{L}(V, W), M := ([L(V_{1})]_{B_{W}} [L(V_{i})]_{B_{W}})
      • Then, [L_{M}(v)]_{B_{W}} = [M]^{i} 
      • = [L(v_{i})]_{B_{W}} (\forall i) 
      • g(M) = L_{M} = L

f g 는 역사상 관계

  • \forall L \in \mathcal{L} (V, W), \forall v \in V
    • (g \circ f) (L) = g(f(L)) = g(M) = L_{M} = L
    • \therefore g \circ f 는 항등사상
  • \forall M \in \mathcal{M}_{m \times n} (F)
    • (f \circ g) (M) = f(g(M)) = f(L_{M}) = f(L) = M
    • \therefore f \circ g 는 항등사상
  • 고로 f g 는 역사상 관계

차원정리

차원정리

유한차원 벡터공간 V 와 선형사상 L : V \to W 에 대하여 다음이 성립한다.

dim(V) = dim(ker L) + dim(im L)

  • 증명)
    • B_{v} = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}
    • ker L \subset V 이므로
    • B_{ker L} = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \} 
    • 목표 B_{imL} = \{ L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), ... , L(v_{n}) \}
  • 생성 증명
    • \forall L(V) \in imL, V = c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ... + c_{n} v_{n}
    • L(v_{1}) + L(v_{2}) + ... + L(v_{k}) = \vec{0} + \vec{0} + .... + \vec{0}
    • \therefore L(V) = L(c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ... + c_{n} v_{n})
    • = L(c_{1} v_{1}) + L(c_{2} v_{2}) + ... + L(c_{n} v_{n})
    • = L(c_{k+1} v_{k+1}) + L(c_{k+2} v_{k+2}) + ... + L(c_{n} v_{n})
      • (\because L(v_{1}) + L(v_{2}) + ... + L(v_{k}) = \vec{0})
    • = c_{k+1}L(v_{k+1}) + c_{k+2}L(v_{k+2}) + ... + c_{n}L(v_{n}) \in imL
    • span\{ L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), ... , L(v_{n}) \} = imL
  • 선형독립 증명
    • c_{k+1}L(v_{k+1}) + c_{k+2}L(v_{k+2}) + ... + c_{n}L(v_{n}) = \vec{0} 라 하자
    • = L(c_{k+1} v_{k+1} + c_{k+2} v_{k+2}) + ... + c_{n} v_{n})
    • \exists c_{1}, c_{2}, ... , c_{k}
    • s.t) c_{1} v_{1} + ... + c_{k} v_{k} = c_{k+1} v_{k+1} + ... + c_{n} v_{n}
    • \Leftrightarrow c_{1} v_{1} + ... + c_{k} v_{k} - c_{k+1} v_{k+1} - ... - c_{n} v_{n} = \vec{0}
    • \therefore c_{1} = c_{2} = ... = c_{n} = 0
    • \therefore L(v_{k+1}), L(v_{k+2}), ... , L(v_{n}) 은 선형독립

비둘기집 원리

따름정리

차원이 같은 두 유한 차원 벡터공간 V, W 사이에 선형사상 L 이 정의되어 있으면 다음이 성립한다.

L 은 전사 \Leftrightarrow L 은 단사 \Leftrightarrow L 은 전단사

  • 증명)
    • L 이 전사 \Rightarrow L 단사
      • Let) dim(V) = dim(W) = n
      • if L 이 전사
        • \Rightarrow dim(L(V)) = dim(imL) = n
        • \Rightarrow dim(kerL) = n - n = 0
        • \Leftrightarrow kerL = \{ \vec{0} \in V \}
        • L(v_{1}) = L(v_{2}), \forall v_{1}, v_{2} \in V
        • \Rightarrow L(v_{1}) - L(v_{2}) = \vec{0}
        • \Rightarrow L(v_{1} - v_{2}) = \vec{0} \in W
        • \Rightarrow v_{1} - v_{2} = \vec{0}
        • \Rightarrow v_{1} = v_{2}
    • L 이 단사 \Rightarrow L 전사
      • if L 이 단사
      • \Rightarrow dim(kerL) = 0
      • \Rightarrow dim(L(V)) = n
      • \therefore L(V) \subset W 이면서 dim(L(V)) = dim W
      • 따라서 L(V) = W = imL

비둘기집 원리

공집합이 아닌 두 유한집합 A, B 의 크기가 서로 같을 때, 함수 f : A \to B 는 다음을 만족한다.

f 은 전사 \Leftrightarrow f 은 단사 \Leftrightarrow f 은 전단사

계수정리

관련 용어

행렬 M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F) 에 대하여

  • 열공간: M 의 열벡터들로 생성된 공간
  • 열계수: 열공간의 차원. col-rank M
  • 행공간: M 의 행벡터들로 생성된 공간
  • 행계수: 행공간의 차원. row-rank M
  • 영공간: 연립방정식 MX = 0 의 해공간
  • nullity M : M 의 영공간 차원

예)

  • M = \left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})
    • 열공간
      • span\{(3, 1), (1, 0), (2, -1)\} = \mathbb{R}^{2}
      • col-rank M: dim(\mathbb{R}^{2}) = 2
    • 행공간
      • span\{(3, 1, 2), (1, 0, -1)\} = span\{ (1, 0, -1), (0, 1, 5) \}
      • = \{ (k, m, -k+5m) | k, m \in \mathbb{R} \}
      • row-rank M = 2
    • 영공간
      • MX = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) 
      • \Leftrightarrow \begin{cases} 3x + y + 2z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}
      • \Leftrightarrow \begin{cases} z = t \\ x = t \\ y = -5t \end{cases}
      • \therefore \left( \begin{array}{rrr} x \\ y \\ z \end{array} \right) = t \left( \begin{array}{rrr} 1 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)
      • nullity M = 1

계수정리

계수정리

행렬 M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F) 에 대하여 다음이 성립한다.

col-rank M = row-rank M

이때 행렬 행렬 M 에 대하여의 행공간 및 열공간의 공통차원을 M 의 계수 rank M 이라 한다.

  • 증명) 행렬 A M 의 기약행사다리꼴 행렬이라 하자
    • \begin{cases} col-rank M = col-rank A \\ row-ran M = row-rank A \end{cases}
    • col-rank A : 선도 1을 포함하는 열의 개수 = 선도 1의 개수
    • row-rank A : 선도 1을 포함하는 행의 개수 = 선도 1의 개수
    • \therefore col-rank M = col-rank A = row-rank A = row-rank M

Rank-Nullity 정리

행렬 M \in \mathcal{M}_{m \times n}(F) 에 대하여 다음이 성립한다.

n = rank M + nullity M

  • 증명) 행렬 A M 의 기약행사다리꼴 행렬이라 하자
    • rank M = r (\leq n) 라 하면
    • \Rightarrow A 의 선도 1의 개수 = r
    • MX = 0 \Rightarrow 자유변수 개수 = n - r
    • nullity M = n - r
    • 즉, rank M + nullity M = r + (n - r) = n

Rank-Nullity를 선형사상으로 변환하면 다음과 같다.

  • \begin{cases} n = dim(V) \\ rank M = dim(imL) \\ nullity M = dim(kerL) \end{cases}
  • \therefore dim(V) = dim(imL) + dim(kerL)
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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