이상엽/ 고윳값과 대각화

고윳값과 벡터

  • 고윳값은 원어(독일어, eigenvalue)로는 특수한 값이라는 뜻이지 유일한 값이라는 뜻은 아니다.

정의

F 에 대한 벡터공간 V 위의 선형사상 L : V \to V 에 대하여 다음 두 조건

  1. v \neq \vec{0}
  2. L(v) = \lambda_{v}

를 만족하는 \lambda \in F v \in V 를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다.

  • ex) v = (2, 3), L \mapsto M = \left( \begin{array}{rr} 1 &  -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)
    • L(v) \mapsto Mv = \left( \begin{array}{rr} 1 &  -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} -4 \\ -6 \end{array} \right) = -2 \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right)
    • 이때 행렬 M 을 곱한 것과 동일한 결과를 가져오는 스칼라 -2가 고윳값이 되며 그때의 벡터가 고유벡터가 된다.

고유방정식

n \times n 행렬 M 에 대하여 \lambda M 의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식

det(\lambda I_{n} - M) = 0

을 만족하는 것이다. 이 방정식을 고유방정식이라 하며, 좌변의 식을 고유다항식이라 한다. (단, I_{n} n \times n 단위 행렬)

  • ex) M = \left( \begin{array}{rr} 1 &  -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right), \lambda = -2 일 때,
    • det(\lambda I_{2} - M) = det(-2 \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right))
    • = det \left( \begin{array}{rr} -3 &  2 \\ -3 & 2 \end{array} \right) = -6 + 6 = 0
  • ex2) M = \left( \begin{array}{rr} 1 &  -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) 의 고윳값 찾기
    • det(\lambda I_{2} - M) = det(\left( \begin{array}{rr} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 &  -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right))
    • = det \left( \begin{array}{rr} \lambda - 1 &  2 \\ -3 & \lambda + 4 \end{array} \right)
    • = \lambda^{2} + 3 \lambda +2 = (\lambda+2)(\lambda+1) = 0
    • \therefore \lambda = -2 or -1

고유공간

선형사상 \lambda I_{v} - L 의 핵을 \lambda 의 고유공간이라 한다. (단, I_{v} 는 항등사상)

따라서 고유공간의 영벡터가 아닌 벡터는 고유벡터이다.

또한 L 의 고유벡터들로 구성된 V 의 기저를 선형사상 L 의 고유기저라 한다.

  • ex) M = \left( \begin{array}{rr} 1 &  -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right), \lambda = -1 일 때,
    • (\lambda I_{n} - M) v = 0
    • \Leftrightarrow (-\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)) \cdot \left( \begin{array}{rr} v_{1} \\ v_{2} \end{array} \right) = 0
    • \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ -3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} v_{1} \\ v_{2} \end{array} \right) = 0
    • \therefore \begin{cases} v_{1} = s \\ v_{2} = s \end{cases}
    • v = s \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right)
    • 즉, 고유벡터는 (s, s) (s \neq 0) , 고유기저 = \{ (1, 1) \}
  • ex) M = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right) 의 고윳값, 고유벡터, 고유기저 구하기
    • 고윳값 구하기
      • det(\lambda I_{3} - M) = det \left( \begin{array}{rrr} \lambda & 0 & 2 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & \lambda-3 \end{array} \right)
      • = \lambda (\lambda^{2} - 5 \lambda  + 6) + 2 (\lambda - 2)
      • = \lambda^{3} - 5 \lambda^{2} + 8 \lambda - 4 = (\lambda - 1)(\lambda-2)^{2} = 0 
      • \therefore \lambda = 1 or 2 
    • \lambda = 1 일 때 고유벡터 구하기 
      • (\lambda I_{3} - M) v = 0
      • \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array} \right) = 0
      • \therefore \begin{cases} v_{1} = -2s \\ v_{2} = s \\ v_{3} = s \end{cases}
      • v = s \cdot \left( \begin{array}{rrr} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
      • 즉, 고유벡터는 (-2s, s, s), (s \neq 0) , 고유기저 = \{ (-2, 1, 1) \}
    • \lambda = 2 일 때 고유벡터 구하기
      • (2 I_{3} - M) v = 0
      • \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array} \right) = 0
      • \therefore \begin{cases} v_{1} = -r \\ v_{2} = t \\ v_{3} = r \end{cases}
      • v = t \cdot \left( \begin{array}{rrr} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{rrr} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
      • 즉, 고유벡터는 (-r, t, r), (s \neq 0, t \neq 0, r \neq 0) , 고유기저 = \{ (0, 1, 0), (-1, 0, 1) \}

대각화

대각화

정의

두 정사각행렬 A, B 에 대하여 방정식

B = P^{-1}AP

를 만족하는 대각행렬 B 와 가역행렬 P 가 존재하면 행렬 A 는 대각화 가능행렬이라고 한다. 또한 이 경우 행렬 P A 를 대각화한다고 한다.

  • ex) A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right), P = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right) 일 때,
    • P^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{array} \right)
    • P^{-1}AP = \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)
    • = \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) = B
    • 이런 결과는 다시 생각해 보면 A 라는 선형사상(행렬)은 PBP^{-1} 이라는 선형사상으로 분해가 가능하다는 뜻이 되기도 한다.

정리

n \times n 행렬 A 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. A 는 대각화 가능 행렬이다.
  2. A n 개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다.

대각화하는 방법

n \times n 행렬 A 에 대하여

  1. Step 1
    • n 개의 선형독립인 고유벡터를 찾아 대각화 가능 행렬인지 확인한다.
    • (고유벡터의 갯수가 n개가 안되면 대각화 가능하지 않음)
  2. Step 2
    • n 개의 고유벡터 v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} 로부터 행렬 P = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}) 를 만든다.
  3. Step 3
    • P^{-1}AP 는 대각행렬이 된다.
  • ex) A = \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) 이 대각화 가능한지 확인
    • 고윳값 구하기
      • det(\lambda I_{2} - A) = det \left( \begin{array}{rr} \lambda - 2 & -1 \\ 0 & \lambda-2 \end{array} \right)
      • = (\lambda - 2)^{2} = 0
      • \therefore \lambda = 2 
    • 고유벡터 구하기
      • (2 I_{2} - A) v = 0
      • \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} v_{1} \\ v_{2} \end{array} \right) = 0
      • v = s \cdot \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 0 \end{array} \right)
      • 즉, 고유벡터는 (s, 0), (s \neq 0) , 고유기저 = \{ (1, 0) \}
      • 고유기저가 1개 밖에 안나오므로 A 는 대각화 불가능
  • ex2) A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) 에 대한 P 찾기
    • \therefore \begin{cases} \lambda = -1 \Rightarrow (s, s) \to P_{1} = \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ \lambda = -2 \Rightarrow (2t, 3t) \to P_{2} = \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right) \end{cases}
    • \therefore P = (P_{1} P_{2}) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)  

중복도

정의

\lambda_{0} n \times n 행렬 A 의 고윳값이면 이에 대응하는 고유공간의 차원을 \lambda_{0} 의 기하적 중복도라 한다.

또한 A 의 고유다항식에서 \lambda - \lambda_{0} 가 인수로 나타나는 횟수를 \lambda_{0} 의 대수적 중복도라 한다.

  • ex)
    • 기하적 중복도는 대수적 중복도보다 작거나 같음. 그 둘이 같을 때 그 행렬은 대각화 가능이 된다.

정리

정사각행렬 A 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. A 는 대각화 가능 행렬이다.
  2. A 의 모든 고윳값에 대해서 기하적 중복도와 대수적 중복도는 같다.

닮음 불변량

정의

두 정사각행렬 A, B 에 대하여 

B = P^{-1}AP

를 만족하는 가역행렬 P 가 존재하면 A, B 는 서로 닮은 행렬이라 하고 기호로 A \sim B 라 표현한다.

닮은 불변량

서로 닮은 두 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다.

  1. 행렬식
  2. 가역성
  3. rank
  4. nullity
  5. 고유다항식
  6. 고윳값
  7. 고유공간의 차원
  8. 대각성분들의 합
  9. 대수적 중복도
  10. 기하적 중복도

C-H 정리

임의의 정사각행렬 A 와 그 고유다항식

f(\lambda) = det(\lambda I - A) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} \lambda^{i}

에 대하여 f(A) = 0 이 성립하며, 이를 케일리-해밀턴 정리라고 한다. (단, 0 는 영행렬)

  • ex) A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) 일 때
    • f(\lambda) = det(\lambda I_{2} - A) = det( \left( \begin{array}{rr} \lambda - 1 & 2 \\ -3 & \lambda + 4 \end{array} \right))
    • = \lambda^{2} + 3 \lambda + 2
    • f(A) = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)^{2} + 3 \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = 0
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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