이상엽/ 해석학/ 실수체계

자연수

  • 자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.

  1. 1 \in \mathbb{N}
  2. n \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}
  3. \forall n \in \mathbb{N}, 1 \neq n'
    • 1은 자연수의 최소원소
  4. \forall m \in \mathbb{N}, n' \neq m' \Rightarrow n = m
    • 자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
    • 만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
  5. 1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq S
    • 집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
    • 1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) 을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
    • 자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.

‘1’과 ‘그 다음 수’는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)

Thm. [수학적 귀납법]

n' = n + 1 이라 정의할 때, 명제 P(n) 에 대하여 두 조건

  1. P(1) 이 참
  2. P(n) 이 참 P(n+1) 이 참

이 성립하면 P(n) 은 모든 자연수 n 에 대하여 참이다.

(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

  1. 정렬성
    • 자연수집합 \mathbb{N} 의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.
  2. 자연수 집합 \mathbb{N} 은 위로 유계가 아니다.
  3. 아르키메데스 성질
    • \forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. {1 \over n} < \epsilon
    • 어떤 양수든 그보다 더 작은 유리수가 적어도 1개 존재한다
  • 정리란 참인 명제
  • 성질은 정리로부터 자연스럽게 파생되는 것들
  • 법칙은 연산의 규칙

유리수와 무리수

  • 바빌로니아인들이 유리수를 사용했다는 증거가 있음
  • 무리수는 기원전 500년경 등장

집합의 구성

  1. 정수 집합
    • \mathbb{Z} = (-\mathbb{N}) \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{N}
  2. 유리수 집합
    • \mathbb{Q} = \{ {m \over n} | m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}
  3. 무리수 집합
    • \mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q} 

(위는 간략한 표현일 뿐 엄밀한 정의는 아님)

조밀성

Thm 1. [유리수의 조밀성]

\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q} s.t. a < r < b

어떤 두 실수 사이에도 유리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

  • case 1) 0 < a < b
    • a < b \Leftrightarrow 0 < b - a \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} (s.t. {1 \over n} < b - a) (아르키메데스 성질)
    • Let. S = \{ m \subseteq \mathbb{N} | m > na \} Then. S \neq \phi (위로 유계 아님 성질)
    • \therefore S (\subseteq \mathbb{N}) 의 최소원소는 m (정렬성 성질)
    • m > na \Leftrightarrow a < {m \over n}
    • m - 1 \notin S \Rightarrow m - 1 \leq na \Rightarrow {m - 1 \over n} \leq a
    • \therefore a < {m \over n} = {m -1 \over n} + {1 \over n} \leq a + {1 \over n} < b
  • case 2) a < 0 < b
    • 0이 유리수이므로 자명 trivial
  • case 3) a < b < 0
    • \Rightarrow 0 < -b < -a
    • \Rightarrow 0 < -b < -a
    • \therefore r \in \mathbb{Q} (s.t. - b < r < -a, \because case 1)
    • \Rightarrow a < -r < b

Thm 2. [무리수의 조밀성]

\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists s \in \mathbb{I} s.t. a < s < b

어떤 두 실수 사이에도 무리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

  • a < b
    • \Rightarrow a + \sqrt{2} < b + \sqrt{2}
    • \exists r \in \mathbb{Q} s.t. a + \sqrt{2} < r <  b + \sqrt{2}
      • (유리수 조밀성, 어떤 두 실수 사이에도 유리수가 유리수 r 이 존재)
    • Let. s = r - \sqrt{2} \in \mathbb{I}
    • Then. a + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2} \Rightarrow a < s < b

실수

  • 히파소스가 수론적인 접근이 아니라 직각 이등변 삼각형을 이용해서 무리수를 발견하자. 그 전까지는 수론적인 논의가 융성했던 수학 흐름이 기하학으로 넘어감.
  • 그러나 기하적인 수 체계의 정의는 직관에 기댄 것이기 때문에 현대 수학에 이르러 수학적 엄밀성을 위해 실수 체계에 대한 공리가 만들어짐.

체 공리

집합 S S 에 부여된 두 이항연산 +, \cdot 가 다음 9개의 공리를 만족하면, 대수구조 (S, + \cdot) 를 체라 한다.

  1. x, y \in S \Rightarrow x + y = y + x
    • 덧셈에 대한 교환법칙
  2. x, y, z \in S \Rightarrow x + (y + z) = (x + y) + z
    • 덧셈에 대한 결합법칙
  3. \forall x \in S, \exists 0 \in S s.t. 0 + x = x
    • 덧셈에 대한 항등원
  4. \forall x \in S, \exists -x \in S s.t. x + (-x) = 0
    • 덧셈에 대한 역원 (연산 결과가 항등원이 나오게 하는 것)
  5. x, y \in S \Rightarrow x \cdot y = y \cdot x
    • 곱셈에 대한 교환법칙
  6. x, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z
    • 곱셈에 대한 결합법칙
  7. \forall x \in S, \exists 1(\neq 0) S s.t. 1 \cdot x = x
    • 곱셈에 대한 항등원. 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 달라야 하는 것이 공리
  8. \forall x (\neq 0) \in S, \exists x^{-1} \in S s.t. x \cdot (x^{-1}) = 1
    • 곱셈에 대한 역원
  9. x, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z
    • 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙

(\mathbb{Q}, +, \cdot) (\mathbb{R}, +, \cdot) 는 모두 체다. (유리수 체, 실수 체)

  • 체 공리는 실수의 대수적 성질에 대한 것
  • 집합에 연산을 부여한 것을 대수적 구조라고 한다.
  • 이항연산은 집합 내의 원소들에 대해 연산을 한 결과가 집합 내에 존내하는 연산을 의미 –닫혀있는 연산

순서공리

순서 공리

\mathbb{R} 에는 다음 두 조건을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합 P 가 존재한다.

  1. \forall x, y \in P, x + y \in P \wedge xy \in P
    • 집합 원소 간 덧셈과 곱셈이 모두 집합 내에 존재. 덧셈과 곱셈에 대해 닫힌 집합
  2. 임의의 x \in \mathbb{R} 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
    1. x \in P
    2. x = 0
    3. -x \in P

위 조건을 만족하면 P 는 양의 실수 집합이 됨

삼분성질

Def. [부등식의 정의]

임의의 a, b \in \mathbb{R} 에 대하여

  1. a - b \in P \Rightarrow a > b \vee b < a
  2. a - b \in P \cup \{ 0 \} \Rightarrow a \geq b \vee b \leq a

순서 공리로부터 부등식을 정리함. P 는 양의 실수 집합이기 때문에 위와 같이 됨.

Thm. [삼분성질]

임의의 a, b \in \mathbb{R} 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.

  1. a > b
  2. a = b
  3. a < b

완비성 공리

  • Completeness. 연속성 공리라고도 함. 유리수의 조밀성을 뛰어넘는 실수의 조밀성.

완비성 공리

\mathbb{R} 의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다. (완비성 공리를 만족한다는 것은 부분집합의 상한을 원래 집합 내에서 잡을 수 있다는 것)

Def. [상한] 부분순서집합 A 의 부분집합 B 의 상계들의 집합이 최소원소를 가질 때 그 최소원소를 B 의 상한이라 하고 sup B 로 나타낸다.

유리수 집합은 완비성 공리를 만족하지 못함

주요 정리

Thm 1. 상한은 유일하다.

Thm 2. s \in \mathbb{R} 가 집합 S 의 상계일 때 다음 세 명제는 동치이다.

  1. s = sup S
  2. \forall \epsilon > 0, \exists x \in S s.t. s - \epsilon < x \leq s
  3. \forall \epsilon > 0, S \cap ( s - \epsilon, s ] \neq \phi

Thm 3. \mathbb{Q} 는 완비성을 갖지 않는다.

완비성 공리로부터 ‘1. 자연수 > (2) 자연수의 성질 > 2’도 증명 가능하다.

완비성의 예 – 무한소수

위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합을 A 라 하자 이제

a_{0} = max \{ x_{0} | x_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}

a_{1} = max \{ x_{1} | a_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}

...

a_{k} = max \{ x_{k} | a_{0}. a_{1} ... a_{k-1} x_{k} x_{k+1} ... \in A \}

라 하면, 무한소수 a_{0}. a_{1} a_{2} a_{3} ... 은 집합 A 의 상한이다. 즉, 무한소수의 집합은 완비성 공리를 만족한다.

실수는 완비성, 순서성을 만족하는 체. 완비순서체라고도 한다.

[ssba]

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Player가 아니라 Creator가 되려는 자/ suyeongpark@abyne.com

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