이상엽/ 해석학/ 극한과 연속

함수의 극한

무한소와 극한

  • 무한소란 ‘무한히 작은 수’를 일컫는 직관적인 개념으로 고전적으로 미적분을 설명하기 위해 쓰였다.
    • 아르키메데스가 최초로 정립함. 이를 뉴턴과 라이프니츠가 이용해서 미적분학을 정립
    • 무한소는 미적분을 설명하는 도구이지만, 극한을 설명하는 동구는 아니다.
  • 실수체에는 무한소가 존재하지 않으며 \epsilon-\delta 논법으로 정의된 극한으로써 미적분을 설명한다.
    • 예전에는 무한소를 이용해서 미적분을 설명했지만 \epsilon-\delta 논법이 등장한 이후 극한으로 미적분을 설명함으로써 무한소는 수학계에서 사용되지 않음
  • 초실수체에서는 무한소로써 미적분을 설명 가능하다. (비표준 해석학)
    • 초실수체는 무한소를 공리로 받아들임. 초실수체는 순서체일 뿐 완비순서체가 아님. 조밀성이 성립하지 않음.
    • 비표준 해석학에서는 미적분을 무한소로 정의할 뿐. 극한으로 설명하지는 않는다. 무한소와 극한은 양립 불가능한 개념

극한의 정의

Def 1. [수렴과 극한(값)]

f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R} 라 하자

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < \| x - a \| < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 극한(값) L 로 수렴한다고 하고 \lim_{x \to a} f(x) = L 로 표기한다.

수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.

  • \| x - a \| 가 0이 되어버리면 f(a) 가 되어버리기 때문에 \| x - a \| 는 극한을 정의하기 위해서는 반드시 0보다 커야 함.
  • \forall \epsilon > 0  에 대하여 \| f(x) - L \| < \epsilon 가 성립하려면  \| f(x) - L \| 는 0이 되어야 한다.
  • 고로 극한값 L f(a) 의 값과 완전히 동일한다. L f(a) 에 다가가는 것이 아니다. 둘은 완전히 같다.

Def 2. [우극한과 좌극한]

f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R} 라 하자

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 우극한 L 을 갖는다고 하고 \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a{+}) = L 로 표기한다.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 <  a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon

이 성립하면 \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a{-}) = L (좌극한)

  • 우극한은 x a 보다 큰거고, 좌극한은 x a 보다 작은 것

Def 3.

a, L \in \mathbb{R} 라 하자

  1. \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow \|f(x) - L\| < \epsilon 일 때 \lim_{x \to \infty} f(x) = L
  2. \forall M > 0, \exists \delta > 0, s.t. 0 < \|x - a|\ < \delta \Rightarrow f(x) > M 일 때 \lim_{x \to a} f(x) = \infty
  3. \forall M > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow f(x) > M 일 때 \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty
  • 일반적으로 임의의 작은 양수는 \epsilon 을 쓰고 임의의 큰 양수는 M 을 쓴다.

극한의 연산

A, B \in \mathbb{R} 이고 f, g : D \to \mathbb{R} 이며 a \in D 라 하자.

\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B 이면 다음이 성립한다.

  1. \lim_{x \to a} { f(x) + g(x) } = A + B
  2. \lim_{x \to a} { f(x) - g(x) } = A - B
  3. \lim_{x \to a} f(x) g(x) = AB
  4. \lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = {A \over B}
  • 삼각부등식
    • \| a + b \| \leq \|a\| + \|b\|
    • \| a - b \| \geq \|a\| - \|b\|

주요 정리

Thm 1. [극한의 유일성]

f : D \to \mathbb{R}, a \in D 일 때 \lim_{x \to a} f(x) 가 수렴하면 그 극한값은 유일하다.

Thm 2. [샌드위치 정리]

\forall x \in D, f(x) \leq g(x) \leq h(x) 이고

L \in \mathbb{R} 일 때 \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L 이면 \lim_{x \to a} g(x) = L 이다.

함수의 연속

  • 극한과 함수값이 같을 때 연속이라고 정의

연속의 정의

Def 1. [점 연속]

f : D \to \mathbb{R} 이고 a \in D 라 하자.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, \|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 연속이라 한다.

  • a \in D 라는 것이 f(a) 가 정의된다는 뜻
  • 극한과 다른 부분이 \|x-a\| < \delta 부분으로, 극한에서는 0보다 커야 하지만 연속에서는 0이 됨.
  • \|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon f(a) = \lim_{x \to a} f(x) 와 동일한 의미. a 에서의 f(x) 의 극한 값이 f(a) 와 동일하다.

ex) D = \{ 0, 1, 2, 3 \} 일 때, f : D \to \mathbb{R}, f(x) = -x + 3 이면 f x = 2 에서 연속임을 증명하라

\forall \epsilon > 0, Let. \delta = { 1 \over 2 } ( > 0)

Then. \| x - 2 \| < \delta (= {1 \over 2}) \ \forall \epsilon > 0, let \delta = { 1 \over 2 } \Rightarrow x = 2 \in D \

\therefore \| f(x) - f(2) \| = |\ f(2) - f(2) | = 0 < \epsilon

위 정의역의 원소들은 불연속적이지만, x = 2 일때 연속임이 증명된다.

Def 2. [우연속과 좌연속]

f : D \to \mathbb{R} 이고 a \in D 라 하자.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 우연속이라 한다.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 좌연속이라 한다.

Def 3. [연속함수]

f : D \to \mathbb{R} 이고 X \subseteq D 라 하자.

  1. 만약 f X 의 모든 점에서 연속이면 f X 에서 연속이라 한다.
  2. 만약 f X 의 모든 점에서 연속이면 f 는 연속함수라 한다.
    • 모든 점에서 연속임을 증명 하는 방법
      1. x = a 에서 연속임을 보인다.
      2. a 가 정의역에서 임의의 점임을 보인다.

Def 4. [불연속점의 종류]

f : D \to \mathbb{R} 이고 a \in D 라 하자.

[제 1종 불연속점]

  1. \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) \neq f(a) x = a 를 제거 가능 불연속점이라 한다.
    • 그 한 점에서만 새로 정의를 해주면 연속으로 만들 수 있다.
    • 전체에서 문제가 되는 점이 한 점 뿐이라면 (수학에서도) 무시할 수 있다.
  2. \lim_{x \to a^{+}} f(x) \neq \lim_{x \to a^{-}} f(x) x = a 를 비약 불연속점이라 한다.

[제 2종 불연속점]

\lim_{x \to a^{+}} f(x) \lim_{x \to a^{-}} f(x) 중에 적어도 하나가 존재하지 않는다.

균등 연속 (uniformly continuous)

Def. [균등 연속]

f : D \to \mathbb{R} 이라 하자.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x, y \in D, \|x-y\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| < \epsilon

이 성립하면 f D 에서 균등 연속이라 한다.

Thm. f D 에서 균등 연속이면 연속이다.

연속함수의 연산

a \in D 이고 f, g : D \to \mathbb{R} x = a 에서 연속일 때 다음이 성립한다.

  1. f + g x = a 에서 연속이다.
  2. f - g x = a 에서 연속이다.
  3. fg x = a 에서 연속이다.
  4. g(a) \neq 0 이면 {f \over g} x = a 에서 연속이다.

주요 정리

Thm 1. [최대 최소정리]

f [a, b] 에서 연속

\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] s.t. \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})

  • 연속인 구간 내에서 반드시 최대, 최소를 정의할 수 있다.

Thm 2. [사잇값(중간값) 정리]

f [a, b] 에서 연속이고

f(a) < f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b) s.t. f(a) < p < f(b), f(c) = p

f(b) < f(a) 이면 f(b) < p < f(a)

  • 연속인 구간 내의 두 함수 값 사이에 반드시 값이 존재한다.
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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