이상엽/ 해석학/ 미분

미분계수

미분계수의 정의

Def 1. [평균변화율]

함수 f : [a, b] \to \mathbb{R} 에 대하여

{\Delta y \over \Delta x} = {f(b) - f(a) \over b - a} = {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}

a 에서 b 로 변할 때의 함수 y = f(x) 의 평균 변화율이라 한다.

Def 2. [미분계수와 미분가능]

함수 f : (a, b) \to \mathbb{R} c \in (a, b) 에 대해

f'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x}

= \lim_{x \to c} {f(x) - f(c) \over x - c}

= \lim_{\Delta x \to 0} {f(c + \Delta x) - f(c) \over \Delta x}

x = c 에서의 함수 y = f(x) 의 미분계수라 하며, 미분계수가 존재하면 f x = c 에서 미분가능하다고 한다.

  • 미분계수란 순간변화율
  • 순간의 변화율을 보기 위해 극한을 이용한다.
  • 순간변화율은 접선의 기울기와 동일하다는 것은 그래프로 표현 가능할 때 가능한 표현이지만, 실제 수학에서는 그래프로 표현 불가능한 부분이 있고, 그런 부분에서도 미분이 가능한 경우가 존재하기 때문에 엄밀히 말해서 미분계수를 접선의 기울기라고 보기는 어렵다.

Def 3. [우미분계수와 좌미분계수]

  • 함수 f : [a, b) \to \mathbb{R} 에 대하여 f  x = a 에서의 우미분계수
    • f'+(a) = \lim_{\Delta x \to 0+} {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}
    • 가 존재하면 f x = a 에서 우미분가능하다고 한다.
  • 함수 f : (a, b] \to \mathbb{R} 에 대하여 f  x = b 에서의 우미분계수
    • f'-(b) = \lim_{\Delta x \to 0-} {f(b + \Delta x) - f(b) \over \Delta x}
    • 가 존재하면 f x = b 에서 좌미분가능하다고 한다.

Def 4. [미분가능함수]

  • 함수 f : (a, b) \to \mathbb{R} (a, b) 의 모든 점에서 미분가능하면 f (a, b) 에서 미분가능 함수라고 한다.
  • 함수 f : [a, b] \to \mathbb{R} 가 다음 조건들을 만족하면 f [a, b] 에서의 미분가능 함수라고 한다.
    • f (a, b) 에서의 미분가능함수이다.
    • f x = a 에서 우미분가능하다
    • f x = b 에서 좌미분가능하다.

미분계수의 연산

f, g : D \to \mathbb{R} a \in D 에서 미분가능하면 f + g, f - g, fg, {f \over g} (g \neq 0) 도 미분가능하고 다음이 성립한다.

  1.  (f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)
  2.  (f - g)'(a) = f'(a) - g'(a)
  3. (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a) (곱의 미분법)
  4. ({f \over g})'(a) = {f'(a)g(a) - f(a)g'(a) \over \{g(a)\}^{2}} (몫의 미분법)

주요 정리

Thm 1. [미분가능성과 연속성]

f 가  x = a 에서 미분가능하면  f 는  x = a 에서 연속이다. (불연속이면 미분 불가)

Thm 2. [극점과 미분계수]

f : D \to \mathbb{R} 일 때  f 가  D 의 내부점  x = a 에서 극값을 갖고 미분가능하면  f'(a) = 0 이다.

Thm 3. [연쇄법칙]

함수  f 가  x = a 에서 미분가능하고  g 가  f(a) 에서 미분가능하면 합성함수  g \circ f x = a 에서 미분가능하고 다음이 성립한다.

 (g \circ f)'(a) = g'(f(a))f'(a)

Lemma. 함수 f : D \to \mathbb{R} x = a(\in D) 에서 미분가능하다

\Rightarrow \exists g, g(a) = f'(a). s.t. \forall x \in D, f(x) = f(a) + g(x) (x - a)

g x = a 에서 연속

도함수

도함수의 정의

함수  f : D \to \mathbb{R} 가 임의의 점  x \in D 에서 미분 가능할 때, 함수

 f'(x) = {df \over dx} = \lim_{y \to x} {f(y) - f(x) \over y - x}

를 함수  f 의 도함수라 한다.

  • f''(x) 는 이계도함수, f'''(x) 는 삼계 도함수 f^{(4)}(x) 는 사계도함수… f^{(n)}(x) 는 n계 도함수라고 한다.

여러 함수의 도함수

  •  c' = 0 (c \in \mathbb{R})
  •  (x^{c})' = c x^{c-1} (c \in \mathbb{R})
    • 실수이므로 무리수에 대해서도 성립  (x^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1}
    • 복소수에 대해서는 복소해석학에서 봐야 함
  •  (a^{x})' = a^{x} \ln a, (e^{x})' = e^{x} (\because \ln e = 1 )
  •  (\log_{a} x)' = {1 \over x \ln a}, (\ln x)' = {1 \over x} (\because \ln e = 1 )
  • (\sin x)' = \cos x, (\csc x)' = -\csc x \cot x
  • (\cos x)' = - \sin x, (\sec x)' = \sec x \tan x
  • (\tan x)' = \sec^{2} x, (\cot x)' = - \csc^{2} x
  • (x^{x})' = x^{x} (1 + \ln x)

평균값 정리

평균값 정리

  • 평균값 정리란 평균변화율과 순간변화율의 관계에 대한 것
  • 이 정리에서 파생되는 정리가 많기 때문에 대단히 중요한 정리다.

Thm 1. [롤의 정리]

 f : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a, b] 에서 연속이고  (a, b) 에서 미분가능하다고 할 때, 다음 명제는 참이다.

 f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b), s.t. f'(c) = 0

  • 연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 그 구간의 시작점과 끝점이 동일할 경우, 순간변화율이 0이 되는 점이 1개 이상 존재한다.

Thm 2. [평균값 정리]

 f : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a, b] 에서 연속이고  (a, b) 에서 미분가능하면 다음이 성립하는  c 가  (a, b) 에 존재한다.

 f'(c) = {f(b) - f(a) \over b - a}

  • 평균값 정리는 롤의 정리의 일반화된 버전. 평균값 정리에서 시작점과 끝점의 값이 동일할 경우 롤의 정리가 된다.
  • 연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 구간 내에 구간의 평균변화율과 동일한 순간변화율을 갖는 점이 1개 이상 존재한다.

코시 평균값 정리

  • 코시의 평균값 정리는 평균값 정리를 확장한 버전

Thm 1. [코시 평균값 정리]

 f, g : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a, b] 에서 연속이고  (a, b) 에서 미분가능하면 다음이 성립하는  c 가  (a, b) 에 존재한다.

 \{ f(b) - f(a) \} g'(c) = \{ g(b) - g(a) \} f'(c)

\Rightarrow f(x)g'(c) = g(x)f'(c) (양변에 분모로 b - a 를 넣어줌)

\Rightarrow {f(x) \over g(x)} = { f'(c) \over g'(c) }

  • 두 함수의 도함수의 값을 갖게 해주는 상수가 존재한다.
  • 위의 식에서 g(x) = x 인 경우가 평균값 정리가 된다. 다시 말해 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 g(x) = x 인 특수한 경우가 됨

Thm 2. [로피탈의 정리]

  • 극한이 {0 \over 0}, {\infty \over \infty} 꼴을 가질 때 부정형이라고 하는데, 이러한 꼴을 쉽게 풀 수 있게 해주는 방법
  • 로피탈 정리는 요한 베르누이의 수학 업적 중 하나인데, 이를 귀족이었던 로피탈이 당시 가난에 시달리던 베르누이의 일생의 모든 연구를 모두 사서 자신의 이름으로 발표한 것. 오일러가 바로 이 요한 베르누이의 제자

 f, g : D \to \mathbb{R} 가 다음을 만족한다.

  1.  D 에서 연속함수이고  D - \{a\} 에서 미분가능함수이다.
  2. 다음 두 명제 중에 하나가 성립한다.
    1.  \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0
    2.  \lim_{x \to a} \|f(x)\| = \lim_{x \to a} \|g(x)\| = \infty

그러면  a, L \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \} 에 대하여 다음이 성립한다.

 \lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)} = L \Rightarrow \lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = L

  • 위와 같은 꼴일 때, 도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같다
  • 도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같기 때문에, 로피탈 정리를 한 번 써서 해결이 안되면 한 번 더 써도 무방하다. 다시 말해 부정형에서 벗어날 때까지 계속 미분해서 값을 구한다. 바꿔 말하면 부정형이 아닌 상태({0 \over 0}, {\infty \over \infty} 이 아닌 형태)에서는 로피탈 정리를 써서는 안 된다. 주의!
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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